人教A版必修4《正弦函数、余弦函数的性质》第1课时 学案.doc

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一) 自主学习 知识梳理 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的______________时，都有______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________． 2．正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝__________知y＝sin x与y＝cos x都是________函数，______________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________． 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是________，定义域关于________对称． (2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sin x是R上的______函数，它的图象关于________对称． (3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cos x是R上的______函数，它的图象关于________对称． 自主探究 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (Aω≠0)是否是周期函数，它的最小正周期是多少？ 函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)呢？ 对点讲练 知识点一　求三角函数的周期 例1　求下列函数的周期． (1)y＝sin (x∈R)；(2)y＝|sin x| (x∈R)． 回顾归纳　对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解．易知y＝|Asin ωx|的周期是y＝Asin ωx周期的. 变式训练1　求下列函数的周期． (1)y＝sin；(2)y＝|cos x|. 知识点二　判断三角函数的奇偶性 例2　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝. 回顾归纳　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件．然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系． 变式训练2　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos＋x2sin x； (2)f(x)＝＋. 知识点三　函数周期性与奇偶性的综合运用 例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． 回顾归纳　解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内． 变式训练3　若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f 的值． 1．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T. (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|. (3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝. 2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称. 课时作业 一、选择题 1．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2．下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x 3．下列函数中，不是周期函数的是(　　) A．y＝|cos x| B．y＝cos|x| C．y＝|sin x| D．y＝sin|x| 4．函数y＝sin(x＋θ) (0<θ≤π)是R上的奇函数，则θ的值是(　　) A．0 B. C. D．π 5．函数f(x)＝7sin是(　　) A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数 二、填空题 6．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝________. 7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是______________． 8．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题： ①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中结论错误的序号是________． 三、解答题 9．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性． 10．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝bcos (k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1，求k，a，b. 1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一) 答案 知识梳理 1．(1)非零常数T　每一个值　f(x＋T)＝f(x) (2)最小正周期 2．sin x　cos x　周期　2kπ (k∈Z且k≠0)　2π 3．(1)R　y轴　(2)－sin x　奇　原点 (3)cos x　偶　y轴 自主探究 解　由诱导公式知 Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ) 也就是Asin＝Asin(ωx＋φ) 即f＝f(x) 所以函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期，是它的最小正周期． 同理，函数f(x)＝Acos (ω≠0)也是周期函数，最小正周期也是. 对点讲练 例1　解　(1)f(x)＝sin的周期为＝π. (2)作出y＝|sin x|的图象． 由图象可知，y＝|sin x|的周期为π. 变式训练1　解　(1)T＝＝4π. (2)函数y＝|cos x|的图象如图所示： 根据图象可知：T＝π. 例2　解　(1)显然x∈R，f(x)＝cos x， f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (2)由，得－1<sin x<1. 解得定义域为. ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数． 变式训练2　解　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x， 又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)由，得cos x＝. ∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． 例3　解　∵f(x)的最小正周期是π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝f＝sin ＝. ∴f＝. 变式训练3　解　f＝f ＝f＝－f＝－1. 课时作业 1．B　[∵sin＝－sin＝－cos 2x， ∴f(x)＝－cos 2x. 又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．] 2．D　[利用公式T＝.] 3．D　[画出y＝sin|x|的图象，易知．] 4．C　[当θ＝π时，y＝sin(x＋π)＝sin x是奇函数，故选C.] 5．A　[∵f(x)＝7sin＝7sin ＝－7sin＝－7cos ， ∴T＝＝＝3π，f(x)为偶函数．] 6．±3 解析　＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 7．f(x)＝sin|x| 解析　当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x) ＝－sin x， ∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x. ∴x∈R，f(x)＝sin|x|. 8．①④ 解析　易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立． 9．解　∵sin x＋≥sin x＋1≥0， 若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，∴对x∈R都有sin x＋>0. ∵f(－x)＝ln(－sin x＋) ＝ln(－sin x)＝ln(＋sin x)－1 ＝－ln(sin x＋)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 10．解　∵k>0，∴＋＝＝， ∴k＝2，∴f(x)＝asin， g(x)＝bcos， ∴f＝asin＝－a， g＝bcos＝b， g＝bcos＝－b， f＝asin＝a. 由题意，a，b满足方程组 ，∴. ∴k＝2，a＝，b＝－.