专题3.1 不等关系与不等式（讲）-2016-2017学年高二数学同步精品课堂（提升版）（新人教A版必修五） Word版含解析.doc

☆学习目标☆ 1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系，掌握用不等式(组)表示实际问题中的不等关系的方法。 2.掌握不等式的有关性质。 3.会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小；会利用不等式的性质证明简单的不等式。 ☆学习重点☆ 1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用； 2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧． ☆学习难点☆ 1 .合理正确地应用不等式性质比较大小、求代数式的范围。 2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧． ☆基础回扣☆ 1．比较两个实数大小的法则 若a，b∈R，则(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质 (1)a＞b⇔b＜a；(2)a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)a＞b⇔a＋c＞b＋c； (4)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(5)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(7)a＞b＞0⇒(n∈N，且n≥2)； (8)a＞b＞0⇒(n∈N，且n≥2)． 3．不等式的一些常用性质 （1）a＞b，ab＞0⇒＜. （2）a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞. （3）0＜a＜x＜b，或a＜x＜b＜0⇒＜＜. ☆问题探讨与解题研究☆ 类型一： 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 例1 某人上午7时乘摩托艇以v海里/h(4≤v≤20)的速度从A港匀速出发，向距A港50海里的B港驶去，到达B港后马上乘汽车以w km/h(30≤w≤100)的速度从B港匀速出发，向距B港300 km的C市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C市，试表示关于时间的不等关系． 【解】　设汽车用x h，摩托艇用y h， 由题意，得 【名师点评】　用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的 根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本 的一步． 【练习】 1． (1)一桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T不超过40 吨，用不等式表示为________． (2) 某火腿肠的质量检查规定，每100克火腿肠中，淀粉含量d不能超过20克，防腐剂f含量不能超过0.5 克．用不等式组表示为________． 答案：(1)T≤40　(2) 类型二、比较大小 【例2】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 【解】　(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1). ∵x<1，∴x－1<0，又2＋>0. ∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x. 【练习】比较3－m＋1与2＋m－3的大小． 【小结】作差法比较大小的方法步骤 ①作差：有的可直接作差，有的需转化后才可作差； ②变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子(分母)有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号； ③定号：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b等； ④得结论. 类型三：根据不等式性质求数(式)的取值范围 【例3】如果二次函数f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围． 【分析】若求f(－2)的取值范围，则f(－2)应用f(－1)、f(1) 表示，利用不等式的性质确定其取值范围． 【小结】本类题与用待定系数法解决，其关键在于寻找系数m，n.注意不等式作加法时须保证同向相加．本题也可用线性规划的方法求解． 【练习】设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 解　法一　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法二　由得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 类型四：不等式的性质及其应用 【例4】设a>b>1,c<0，给出下列三个结论：①；②ac＜bc；③logb(a-c)>loga(b-c)，则所有的正确结论的序号是( ) (A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③ 【分析】可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较. 【解析】由不等式a>b>1知，又c<0，所以，①正确；根据幂函数y=xc在(0，+∞)上的单调性知②正确；由a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知③正确.故选D. 【小结】涉及“取倒数求范围”等问题时，注意倒数法则的正确运用.一般地： ①若x>a,a>0，则， ②若x>a,a<0，则或 ③若x<a,a<0，则， ④若x<a,a>0，则或。 ☆课堂检测☆ 1．若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) A.< B．a2>b2 C.> D．a|c|>b|c| 【解析】取a＝1，b＝－1，c＝0，可否定A，B，D，故选C. 2．已知a<0，－1<b<0，那么a，ab，的大小关系是__． 【解析】由－1<b<0，可得b<<1.又a<0，∴ab>>a. 3．已知正数a、b、c成等比数列，比较a2－b2＋c2与(a－b＋c)2的大小． 4.若x>-2且x≠0，则的取值范围是( ) (A) (B) (C)(0,+∞)∪ (D)(0,+∞)∪ ☆课堂小结☆ 1.利用不等式表示不等关系时，要注意文字语言与符号语言的等价转化； 2.比较两实数大小的方法 —— 作差法，作差法的步骤. 3.利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的范围。 ☆课后作业☆ 必修五课本p75页习题3.1A组2、3、4。