【精品学案推荐】山东省2016年高二数学（新人教A版选修2-2）考点清单：《1.1.2 导数的概念》.doc

1．1.2 导数的概念 考点一：有关瞬时速度的计算 1、 已知自由落体的运动方程为s＝gt，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度． [解析] (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内路程的增量为Δs＝g(t0＋Δt)2－gt 因此，落体在这段时间内的平均速度为： ＝＝0＝g· ＝g(2t0＋Δt)． (2)落体在t0时的瞬时速度为 v＝limΔt→0＝limΔt→0 g(2t0＋Δt)＝gt0. (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒时，其时间增量Δt＝t1－t0＝0.1秒，由(1)知平均速度为＝g(2×2＋0.1)＝2.05g≈2.05×9.8＝20.09(米/秒)． (4)由(2)知落体在t0＝2秒的瞬时速度为v＝g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)． 2、以初速度v0(v0＞0)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度． [解析] ∵Δs＝－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2， ∴＝v0－gt0－gΔt，当Δt→0时，→v0－gt0. 故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. 考点二:用定义求函数在某点的导数 1、求函数y＝x2在点x＝3处的导数． [解析] (1)求y在点x＝3处的增量． 取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2. (2)算比值． ＝＝6＋Δx. (3)Δx趋近于0时，趋近于6. 因此y在点x＝3处的导数是6. 2、(1)求函数y＝在点x＝1处的导数； (2)求函数y＝x2＋ax＋b在点x＝x0处的导数． [解析] (1)Δy＝－1， ＝＝. limΔx→0 ＝，所以y′|x＝1＝. (2)y′|x＝x0 ＝limΔx→0 ＋ax0＋b ＝limΔx→0 ＝limΔx→0 ＝limΔx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a. 考点三：导数定义的应用 1、 若函数f(x)在x＝a处的导数为A，求： (1)limΔx→0 ； (2)limt→0 . [解析] (1)∵limΔx→0 ＝A， 则limΔx→0 ＝－limΔx→0 ＝－A ∴limΔx→0 ＝limΔx→0 ＝limΔx→0 ＋limΔx→0 ＝A＋A＝2A. (2)limt→0 ＝limt→0 ＝4limt→0 －5limt→0 ＝4A－5A＝－A. 2、已知f′(x0)＝A，则limΔx→0 ＝____. [解析] limΔx→0 ＝－2limΔx→0 ＝－2A. 考点四：函数变化率的应用 1、 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s) s＝. 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． [解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为 ＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝ ＝＝3Δt－18， ∴物体在t＝0处的瞬时变化率为 limΔt→0 ＝limΔt→0 (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18m/s. (3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为 ＝ ＝＝3Δt－12. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 limΔt→0 ＝limΔt→0 (3Δt－12)＝－12. 即物体在t＝1时的速度为－12m/s. 2、如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数y＝s(t)＝t3＋3. 求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)； (2)t＝2到t＝4的平均速度； (3)t＝4时，物体的速度v(4)． [解析] (1)s(4)＝43＋3＝67. (2)t＝2到t＝4的平均速度为 ＝＝＝＝28. (3)∵＝ ＝48＋12Δt＋(Δt)2， ∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于48. ∴v(4)＝48.