【精品学案推荐】山东省2016年高二数学（新人教A版选修2-2）考点清单：《2.1.3 演绎推理》.doc

2.1.3 演绎推理 考点一：演绎推理概念理解 1.下列说法正确的个数是 (　　) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 A．1　　　　[来源:学优高考网] B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 [答案]　C [解析]　由演绎推理的概念可知说法①③④正确，②不正确，故应选C. 2.下列几种推理过程是演绎推理的是 (　　) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 [答案]　A [解析]　C是类比推理，B与D均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B、C、D都不是演绎推理．而A是由一般到特殊的推理形式，故A是演绎推理. 考点二：把演绎推理写成三段论 1.用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角． (3)0.33是有理数． (4)y＝sinx(x∈R)是周期函数． [解析]　(1)每个菱形的对角线相互垂直 大前提[来源:gkstk.Com] 正方形是菱形 小前提 正方形的对角线相互垂直 结论 (2)两个角是对顶角则两角相等 大前提 ∠1和∠2不相等 小前提 ∠1和∠2不是对顶角 结论 (3)所有的循环小数都是有理数 大前提 0．33是循环小数 小前提 0．33是有理数 结论 (4)三角函数是周期函数 大前提 y＝sinx(x∈R)是三角函数 小前提 y＝sinx是周期函数 结论 2.把下列演绎推理写成三段论的形式． (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除； (3)∵三角函数都是周期函数，∴y＝tanα是周期函数； (4)如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°. [解析]　(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾． (2)大前提：一切奇数都不能被2整除， 小前提：2100＋1是奇数， 结论：2100＋1不能被2整除． (3)大前提：三角函数都是周期函数， 小前提：y＝tanα是三角函数， 结论：y＝tanα是周期函数． (4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补， 小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角， 结论：∠A＋∠B＝180°. 考点三：三段论推理的判断 1.指出下面推理中的错误． (1)因为自然数是整数， 大前提 而－6是整数， 小前提 所以－6是自然数． 结论 (2)因为中国的大学分布于中国各地， 大前提 而北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布于中国各地． 结论 [解析]　(1)推理形式错误，M是“自然数”，P是“整数”，S是“－6”，故按规则“－6”应是自然数(M)(此时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误的． (2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学”未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学． 2.下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以，四边形的内角和等于360°. (2)已知和都是无理数，试证：＋也是无理数． 证明：依题设，和都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以＋也必是无理数． (3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：a2＋b2＝c2. 证明：因为a＝csinA，b＝ccosA，所以a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A＋cos2A)＝c2. (4)设a＝b(a≠0，b≠0)． 等式两边乘以a，得a2＝ab， 两边减去b2，得a2－b2＝ab－b2， 两边分解因式，得(a＋b)(a－b)＝b(a－b)， 两边除以(a－b)，得a＋b＝b， 以b代a，得2b＝b， 两边除以b，得2＝1. [解析]　上述四个推理过程都是错误的． (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．因此原题的真实性仍无法断定． (3)本题的论题就是人们熟知的勾股定理．上述证明中用了“sin2A＋cos2A＝1”这个公式，按照现行中学教材的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误． (4)所得结果显然是错误的，错误的原因在于以(a－b)除等式两边．因为a＝b，而a－b＝0，用0除等式两边，这是错误的. 考点四：三段论在证明几何问题中的应用 1.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)．求证：ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理． [证明]　(1)连结AC (2)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．大前提 如果△ABC和△CDA的三边对应相等小前提 则这两个三角形全等．结论[来源:学优高考网] 符号表示： (AB＝CD)且(BC＝DA)且(CA＝AC)⇒△ABC≌△CDA. (3)由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于： 对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．大前提 如果△ABC和△CDA全等，小前提 则它们的对应角相等．结论 用符号表示，就是 △ABC≌△CAD⇒(∠1＝∠2)且(∠3＝∠4)且(∠B＝∠D)． (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(平行线判定定理)大前提 直线AB，DC被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4小前提(已证) AB∥DC，BC∥AD. (AB∥DC)且(BC∥AD)结论(同理) (5)如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(平行四边形定义)大前提 四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提 四边形ABCD为平行四边形结论 符号表示为：AB∥DC且AD∥BC⇒ABCD为平行四边形． 证明：连结AC. ⇒△ABC≌△CDA ⇒⇒▱ABCD. 2.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°. [证明]　因为任意三角形三内角之和是180°大前提 而直角三角形是三角形 小前提 所以直角三角形三内角之和是180° 结论 设直角三角形两个内角分别为A、B，则有∠A＋∠B＋90°＝180° 因为等量减等量差相等 大前提 (∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90° 小前提 所以∠A＋∠B＝90° 结论 考点五：演绎推理综合应用 1.　(2010·安徽理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点． (1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角B－DE－C的大小． [解析]　(综合法)(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH， 又H为BC的中点，∴GHAB. 又EFAB，∴EFGH. ∴四边形EFGH为平行四边形． ∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB. (2)证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC. 而EF⊥FB， ∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又BF＝FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC. 又FH∥EG，∴AC⊥EG. 又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解：EF、FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF. 在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K，则∠FKB为二面角Β—BE—C的一个平面角． 设EF＝1，则AB＝2，FC＝，DE＝. 又EF∥DC，∴∠KEF＝∠EDC. ∴sin∠EDC＝sin∠KEF＝. ∴FK＝EFsin∠KEF＝，tan∠FKB＝＝， ∴∠FKB＝60°. ∴二面角B—DE—C为60°. (向量法)： ∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC. 又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又BF＝FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC. 以H为坐标原点，为x轴正向，为z轴正向，建立如图所示坐标系． 设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)． (1)证：设AC与BD的交点为G，连GE，GH， 则G(0，－1,0)，∴＝(0,0,1)，又＝(0,0,1) ∴∥. GE⊂平面EDB，HF不在平面EDB内， ∴FH∥平面EBD. (2)证：＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，·＝0， ∴AC⊥GE. 又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解：＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2,0)． 设平面BDE的法向量为n1＝(1，y1，z1)， 则·n1＝－1－y1＋z1＝0，·n1＝－2－2y1＝0，[来源:学优高考网] ∴y1＝－1，z1＝0，即n1＝(1，－1,0)．[来源:学优高考网gkstk] ＝(0，－2,0)，＝(1，－1,1)． 设平面CDE的法向量为n2＝(1，y2，z2)，则 n2·＝0，y2＝0， n2·＝0,1－y2＋z2＝0，z2＝－1， `故n2＝(1,0，－1)， cos〈n1，n2〉＝＝＝， ∴〈n1，n2〉＝60°，即二面角B—DE—C为60°. 2.设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根． [解析]　已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根． [点评]　此推理过程用三段论表述为： 大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根； 小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0； 结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根． 附件1：律师事务所反盗版维权声明 附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校名录参见： 附件1：律师事务所反盗版维权声明 附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校名录参见：