【整合】人教A版高二数学选修2-2 第二章 第二节 2.2.1直接证明--综合法与分析法（同步教案）.doc

§2.2.1直接证明--综合法与分析法 教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点； 3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。 教学重点：分析法和综合法的思考过程； 教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点． 教学过程设计 （一）、情景引入，激发兴趣。 【教师引入】 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 (二)、探究新知，揭示概念 探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a,b>0,求证 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 证明:因为， 所以。 因为， 所以。 因此 。 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。 例如：基本不等式 （a>0，b>0）的证明就用了上述方法。 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 由于显然成立，因此原不等式成立。 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。 （三）、分析归纳，抽象概括 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为： 综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 分析法可表示为： 分析法的特点是：执果索因 （四）、知识应用，深化理解 例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明． 证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ② 由①② ，得 B=． ③ 由a, b，c成等比数列，有 ． ④ 由余弦定理及③，可得 ． 再由④，得 ． 即 ， 因此 ． 从而 A=C． 由②③⑤，得 A=B=C=． 所以△ABC为等边三角形． 注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 例2、求证。 分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。 证明：因为都是正数，所以为了证明 ， 只需明 ， 展开得 ， 只需证 ， 因为成立，所以 成立。 在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。 事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子． 例4 、已知，且 ① ② 求证：。 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得 . ③ 另一方面，要证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 。 由于上式与③相同，于是问题得证。 课堂练习： 1、课本P89页 练习1、2、3 （五）、归纳小结、布置作业 综合法和分析法的特点 布置作业：. 课本P91页 1、2、3