1.1回归分析的基本思想及其初步应用第1课时.doc

§1.1 回归分析的基本思想及其初步（一） 【学情分析】： 教学对象是高二文科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。 【教学目标】： （1）知识与技能： 回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。 （2）过程与方法： 本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。 （3）情感态度与价值观：　　 从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。 【教学重点】： 1、了解线性回归模型与函数模型的差异； 2、了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。 【教学难点】： 1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异； 2、了解偏差平方和分解的思想。 【课前准备】： 课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、创设情境 问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性） 提出问题，引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系） （学生思考、讨论。） 问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？ 提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。 （由学生回忆、叙述） 回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图； ⑵判断是否线性相关 ⑶求回归直线方程（利用最小二乘法） ⑷并用回归直线方程进行预报 复习回归分析用于解决什么样的问题。 复习回归分析的解题步骤 二、例题选讲 问题三：思考例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 题目中表达了哪些信息？ 师：读例1的要求，引导学生理解例题含义。 （例题含义：①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系 ②求出以身高为自变量x，体重为因变量y的回归方程。 ③由方程求出当x = 172时，y的值。 生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。 根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程 求解过程如下： ①画出散点图，判断身高x与体重y之间存在什么关系（线性关系）？ ②列表求出相关的量，并求出线性回归方程 代入公式有 所以回归方程为 ③利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？ 当时， 引导学生复习总结求线性回归方程的步骤： 第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算 复习统计方法解决问题的基本过程。 学生动手画散点图，老师用EXCEL的作图工作演示，并引导学生找出两个变量之间的关系。 学生经历数据处理的过程，并借助EXCEL的统计功能鼓励学生使用计算器或计算机等现代工具来处理数据。 三、探究新知 问题四：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ （不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.） 师：提出问题，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引出相关系数的作用。 生：思考、讨论、解释 解释线性回归模型与一次函数的不同 从散点图可观察出，女大学生的体重和身高之间的关系并不能用一次函数来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型，其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？ 相关系数： 相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。 问题六：例1中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？ 生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的。 引导学生了解线性回归模型与一次函数的不同 引导学生在解决具体问题的过程中，通常先进行相关性的检验，确认两变量间的线性相关关系的强弱再求线性回归方程。 结合实例的分析和研究，正确地进行相关性检验。 四、巩固练习 1． 假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 ⑴画出数据的散点图； ⑵若x与y呈线性相关关系，求线性回归方程 y ＝ bx + a 的回归系数a、b； ⑶估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 答案：⑴散点图如图： ⑵由已知条件制成下表： 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 4 9 16 25 36 ； ； ； 于是有 ⑶ 回归直线方程是， 当时，（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元。 巩固知识 五、小结 1． 熟练掌握求线性回归方程的步骤； ⑴画出两个变量的散点图； ⑵判断是否线性相关； ⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）； ⑷并用回归直线方程进行预报。 2． 理解线性回归模型与一次函数的不同； 一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 3． 了解相关系数的计算与解释。 相关系数： 相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。 反思归纳 练习与测试 1． 设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时，则（ C ） A．平均增加个单位 B．平均增加个单位 C．平均减少个单位 D．平均减少个单位 2． 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ） A．预报变量在轴上，解释变量在轴上 B．解释变量在轴上，预报变量在轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 3． 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程为必过（ D ） A．（2，2）点 B．（1.5，0）点 C．（1，2）点 D．（1.5，4）点 4． 已知两个相关变量与具有线性相关关系，当取值1，2，3，4时，通过观测得到的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ） A．(2，4.9) B．(3，8.1) C．(2.5，7) D．(2.5，6.75) 5． 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ C ） A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上 C．身高在145.83cm左右 D．身高在145.83cm以下 6． 在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（ A ） A． B． C． D． 7． 有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学号之间的关系。其中有相关关系的是__________。 答案： ⑴⑶⑷ 8． 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）的数据，建立的回归直线方程如下：。斜率的估计等于说明__________________，成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）之间的相关系数__________________（填充“大于0“或”小于0“）。 答案： ⑴⑶⑷ 9． 若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为__________。 解析：当时，。 答案：。 10． 在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据： 时间 t（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度 y（μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 （1）画出散点图； （2）求腐蚀深度y对腐蚀时间t的回归直线方程. 解：（1）散点图为 （2）经计算可得 b=≈0.3， a=－b=19.45－0.3×46.36≈5.542. 故所求的线性回归方程为=0.3t+5.542.