人教版A版高中数学选修2-2第一章+1.4《生活中的优化问题举例》【练习】（教师版）.doc

1.4 生活中的优化问题举例 一、选择题 1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　) A．R　　　　 B．2R　 　　 C.R　　　 D.R 【答案】　C 【解析】　设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2 ∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3 V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当0<h<R时，V′>0；当<h<2R时，V′<0. 因此当h＝R时，圆锥体积最大．故应选C. 2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为(　　) A．2m3 B．3m3 C．4m3 D．5m3 【答案】　B 【解析】　设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝＝4.5－3x(m) 故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3 从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x) 令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去) 当0<x<1时，V′(x)>0；当1<x<时，V′(x)<0 故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值 从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m2)． 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 【答案】　C 【解析】　本题考查了导数的应用及求导运算． ∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0， x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减． ∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题． 4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　) A.cm B.cm C.cm D.cm 【答案】　D 【解析】　设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(202－x2)(0<x<20)， V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－舍去． 当0<x<时，V′>0；当<x<20时，V′<0.所以当x＝时，V取得最大值． 5．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　　) A. B.r C.r D．r 【答案】　D 【解析】　如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ， ∴S＝·rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ) ∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1) 令S′＝0得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝. 即当cosθ＝时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.故应选D. 6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为(　　) A．25件 B．20件 C．15件 D．30件 【答案】　A 【解析】　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝. 总利润y＝500－x3－1200(x>0)， y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0， x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值． 二、填空题 7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________． 【答案】 【解析】|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝. 8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab 的最大值等于________． 【答案】9 【解析】函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号． 三、解答题 9、如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值． 【解析】设CD＝x，则点C坐标为(，0)，点B坐标为(，1－()2)， ∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·[1－()2]＝－＋x，x∈(0,2)． 由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝， ∴x∈(0，)时，f′(x)＞0，f(x)是递增的； x∈(，2)时，f′(x)＜0，f(x)是递减的， ∴当x＝时，f(x)取最大值. ∴此矩形的面积的最大值为. 10、现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解析】(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]， 即y＝＋300x(0＜x≤35)． (2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0， 解得x＝40或x＝－40(舍去)． 因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0＜x≤35时，y′＜0， 所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减， 故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值． 故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．