人教A版必修四平面向量基本定理 学案.docx

2．3　平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理.3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义． [知识链接] 1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a. 答　通过观察，可得： ＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2， ＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1. 2．0能不能作为基底？ 答　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底． 3．平面向量的基底唯一吗？ 答　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． [预习导引] 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角． ①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a与b同向． ③当θ＝180°时，a与b反向． (2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b. 要点一　用基底表示向量 例1　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝， ＝，若＝a，＝b， 试用a，b将、、表示出来． 解　＝－＝－＝a－b， ＝－＝－－＝－b－(a－b) ＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)． 规律方法　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解． 跟踪演练1　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示，，. 解　＝＝ ＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝a＋b. ∵＝＝. ∴＝＋＝＋ ＝＝(a＋b)， ＝－＝a－b. 要点二　向量的夹角问题 例2　已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角． 解　如图，作＝a，＝b，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. ∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形． ∴与的夹角∠AOC＝60°， 与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 规律方法　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”． 跟踪演练2　如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量与向量的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角． 解　(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°. 如图，延长AB至点D，使AB＝BD， 则＝， ∴∠DBC为向量与的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量与的夹角为120°. (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴与的夹角为90°. 要点三　平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC.AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值． 解　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得 解得 ∴＝，∴AP∶PM＝4∶1. 规律方法　(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握． 跟踪演练3　已知如图，△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解　(1)∵A为BC中点， ∴＝(＋)，＝2a－b. ＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. (2)∵＝λ，∴＝－＝λ－ ＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b. ∵与共线，∴存在实数m，使得＝m， 即(λ－2)a＋b＝m， 即(λ＋2m－2)a＋b＝0. ∵a，b不共线，∴ 解得λ＝. 1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为(　　) A．3 B．－3 C．0 D．2 答案　A 2．已知AD为△ABC的中线，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 答案　D 解析　延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，则 ＝＝(＋)＝＋. 3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则 等于________． 答案　a＋b 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 4．已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.试用a、b表示向量. 解　连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点， ＝＝(＋) ＝× ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. 1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 一、基础达标 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 答案　D 解析　选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底． 2．下面三种说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　B 3．若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则(　　) A．a＝0，b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0 答案　B 4.如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　C 解析　当点P落在第Ⅰ部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a<0，b>0. 5．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________. 答案　－m＋n 解析　设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b， 得⇒. 6．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________. 答案　b＋c 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝b＋c. 7.如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示. 解　∵＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a. 由C，E，M三点共线知存在实数μ满足 ＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b. ∴解得∴＝a＋b. 二、能力提升 8．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则＋＋等于(　　) A．6 B．－6 C．0 D．6 答案　C 解析　＋＋＝＋2＝＋＝0. 9．如图，平面内有三个向量、、.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案　6 解析　如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋. 在Rt△OCD中，∵||＝2， ∠COD＝30°，∠OCD＝90°， ∴||＝4，||＝2，故＝4， ＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案　 解析　易知＝＋＝＋(－)＝－＋， 所以λ1＋λ2＝. 11．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b， (1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，. (2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示. 解　(1)＝＋＝＋ ＝－＝－a＋b. ＝＋＝－＝a－b. (2)＝－＝b－a， ∵O是BD的中点，G是DO的中点， ∴＝＝(b－a)， ∴＝＋＝a＋(b－a) ＝a＋b. 12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC上的点且DM＝DC，BN＝BC，设＝a，＝b，试以a、b为基底表示和. 解　∵＋＝，而＝＝，＝a， ∴＋＝a.① 又＋＝，而＝＝，＝b， ∴＋＝b.② 联立①②解得：＝a＋b，＝a－b. 三、探究与创新 13．如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求及的值． 解　设＝λ，＝μ. ∵＝，即－＝－， ∴＝(＋)． 又∵＝λ＝λ(－)， ∴＝＝＋. 又∵＝μ，即－＝μ(－)， ∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋. 又＝，∴＝＋. ∵，不共线， ∴ 解之，得 ∴＝4，＝.