人教A版选修1-1教案：1.4.1生活中的优化问题举例（1）（含答案）.doc

§1．4．1生活中的优化问题举例(1) 【学情分析】： 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 【教学目标】： 1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。 2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力 3．体会导数在解决实际问题中的作用. 【教学重点】： 利用导数解决生活中的一些优化问题． 【教学难点】： 将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。 【教学突破点】： 利用导数解决优化问题的基本思路： 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 【教法、学法设计】： 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 (1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤 学生回答：导数法求函数最值的基本步骤 为课题作铺垫. (2)典型例题讲解 例1、 把边长为cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？ 解 设剪去的小方形的边长为，则盒子的为 ， 求导数，得 ， 选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题， 令得或，其中不合题意，故在区间内只有一个根：， 显然， 因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积最大． 让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。 (3) 利用导数解决优化问题的基本思路： 1、 生活中的优化问题转化为数学问题 2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域） 3、 利用导数法讨论函数最值问题 使学生对该问题的解题思路清析化。 (4)加强巩固1 例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省? 解： 设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则 CD＝，BD＝100-x，公路运费5k元／Tkm，铁路运费3k元／Tkm y＝， 求出f' (x)＝， 令f’(x)＝0，得 3600＋9x2＝25x2 解得x1＝15，x2＝-15(舍去)， ∵y(15)＝330k y(0)＝400k，y(100)≈510k ∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。 使学生能熟练步骤. (5) 加强巩固2 例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （舍去） 当时，；当时，． 当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低． （1） 半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2） 半径为cm时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值． 当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小． 提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。 (6)课堂小结 1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键 2、 要注意不能漏掉函数的定义域 3、 注意解题步骤的规范性 (7)作业布置:教科书P104 A组1,2,3。 (8备用题目： 1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为 （ A ） A B C D 2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 （A ） A B C D 3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。 4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。 5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为： ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：先求出利润函数的表达式： 再求导函数： 求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。 故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是： 注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。 6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则 令 令