人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.2双曲线的简单几何性质（含答案）.doc

2.2.2　双曲线的简单几何性质 课时目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系． 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0) ① 双曲线C：－＝1 (a>0，b>0) ② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离． 一、选择题 1．下列曲线中离心率为的是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为(　　) A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2 C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3 4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　) A. B. C．2 D. 题　号 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空题 7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______. 8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________． 9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________． 三、解答题 10．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为. 11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程． 能力提升 12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； （2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值． 1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a. 2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围． 3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)． 2．2.2　双曲线的简单几何性质 答案 知识梳理 1. 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.(1)一点　(2)两个　一个　没有 作业设计 1．B　[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝.] 2．A 3．C　[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为， 则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.] 4．C　[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.] 5．C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B　[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a， 所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c， 则≤.] 7. 解析　a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3. 又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝. 8.－＝1(x>3) 解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)． 9.－＝1 解析　∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为 －＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上， ∴λ＝－＝. ∴所求双曲线的方程为－＝1. 10．解　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1， 由 解得故所求的双曲线方程为－＝1. (2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上． 因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6， 所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6. 又P与两顶点连线夹角为， 所以a＝|OP|·tan＝2， 所以b2＝c2－a2＝24. 故所求的双曲线方程为－＝1. 11．解　方法一　(用韦达定理解决) 显然直线AB的斜率存在． 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k，由 得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0， 当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝， ∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1. 方法二　(用点差法解决) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)． ∵x1≠x2，∴＝， ∴kAB＝＝1， ∴直线AB的方程为y＝x＋1， 代入x2－＝1满足Δ>0. ∴直线AB的方程为y＝x＋1. 12. D 　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为 y＝x， 而kBF＝－， ∴·(－)＝－1， 整理得b2＝ac. ∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)．] 13．解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解， 消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① ∴ 解得－<a<且a≠±1. 又∵a>0，∴0<a<且a≠1. ∵双曲线的离心率e＝＝ ， ∴0<a<，且a≠1，∴e>且e≠. ∴双曲线C的离心率e的取值范围是 ∪(，＋∞)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵ ＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)， 由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根， 且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－， x1x2＝x＝－，消去x2得－＝， 即a2＝. 又∵a>0，∴a＝.