人教A版必修四平面向量数量积的物理背景及其含义 第2课时 学案.docx

必修四平面向量数量积的物理背景及其含义 第2课时 学案 [学习目标]　1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． [知识链接] 1．如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？ 答　W＝|F||s|cos θ. 2．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答　向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向． [预习导引] 1．两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b. 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是|a|cos θ，向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3．数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 要点一　平面向量数量积的基本概念 例1　下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________． 答案　①②⑥ 解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错． 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错； |b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错． 综上可知①②⑥正确． 规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． 跟踪演练1　已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为(　　) ①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；②a、b反向⇔a·b＝－|a|·|b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题． ②若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题． ③当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题． ④当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假命题． 综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题． 要点二　平面向量数量积的基本运算 例2　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 解　①当a∥b时， 若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0； ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9. 规律方法　(1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a|·|b|，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能；(2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0；(3)两个向量的数量积a·b＝|a||b|cos θ，与它们的夹角有关，夹角范围是[0°，180°]． 跟踪演练2　若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a. 解　方法一　由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向． ∴a·b＋b·c＋c·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180°＝3－4－12＝－13. 方法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，∴a·b＋b·c＋c·a＝＝＝－13. 要点三　与向量的模有关的问题 例3　已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围． 解　方法一　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]． 方法二　∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]． 规律方法　运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件；解法二中将模平方，这是处理向量模的问题的基本方法，也是常用的方法，并且平方后往往涉及数量积的运算． 跟踪演练3　已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解　∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 要点四　向量的夹角与垂直问题 例4　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角． 解　∵e1，e2为单位向量且夹角为60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝. ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－， |a|＝＝＝ ＝， |b|＝＝＝ ＝， ∴cos θ＝＝－×＝－. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°. 规律方法　要注意向量数量积性质的正确运用，以及向量夹角的范围，注意θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈[0，)；当cos θ<0时，θ∈(，π]；当cos θ＝0时，θ＝.由2a·b＝b2，不能推出2a＝b，同样由a2＝b2也不能得出a＝b或a＝－b. 跟踪演练4　已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． 证明　∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.∴a2＝b2. ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b). 1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　) A．a＝b B．a≠b C．|a|＝|b| D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等 答案　D 解析　设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2， ∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cos θ1＝|b|·|c|cos θ2， 即|a|cos θ1＝|b|cos θ2，故选D. 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________. 答案　 解析　a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝. 3．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________． 答案　－25 解析　易知||2＝||2＋||2， C＝90°.cos B＝， ∴cos〈，〉＝cos(180°－B) ＝－cos B＝－. ∴·＝||·||cos(180°－B) ＝13×5×＝－25. 4．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·； (3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°. ∴·＝||||cos 120° ＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．b在a方向上的投影：|b|cos θ＝是一个数量而不是向量．具体情况可以借助下表分析： θ的 范围 θ＝0° 0°<θ <90° θ＝90° 90°<θ <180° θ＝ 180° 图形 b在a方向上的投影的正负 正 正 0 负 负 一、基础达标 1．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　B 解析　因为a、b为单位向量，且其夹角为60°， 所以a·b＝1×1×cos 60°＝， (2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0. 2．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．120° D．150° 答案　B 解析　∵cos θ＝＝＝－， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°. 3．已知|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．－1 答案　D 解析　a在b方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1. 4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　) A. B．－ C．± D．1 答案　A 解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2 ＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝. 5．已知|a|＝2，|b|＝1，a·(a＋b)＝5，则a，b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　a·(a＋b)＝a2＋a·b＝5，∴a·b＝1. ∴cos〈a，b〉＝＝＝. 6．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，则向量b在向量a方向上的投影是________，向量a在向量b方向上的投影是________． 答案　－5　－1 解析　b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝10×cos 120°＝－5，a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝2×cos 120°＝－1. 7．已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列条件时，能确定△ABC的形状吗？ (1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0. 解　∵a·b＝·＝||·||·cos A. (1)当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形； (2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形； (3)当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定． 二、能力提升 8．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 答案　B 解析　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°. 9．设e1，e2为单位向量．且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________． 答案　 解析　向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝.|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以向量a在b方向上的射影为＝. 10．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________. 答案　3 解析　|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴|a|＝3. 11．如图，在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求·(＋)的最小值． 解　设＝t，0≤t≤1，则 ＋＝2＝2t， ＝＋＝t－＝(t－1)， ∴·(＋)＝2(t－1)t2＝8(t－1)t＝8t2－8t＝82－2， ∴当t＝时，·(＋)有最小值－2. 12．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影． 解　∵||＝5，||＝4，||＝3. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝－·＝－5×4×＝－16； (2)||·cos〈，〉＝＝＝； (3)||·cos〈，〉＝＝ ＝＝－4. 三、探究与创新 13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________. 答案　2 解析　因为已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝0， 故·＝(＋)·(＋)＝·(－)＝2－·＋·－2＝4－0＋0－×4＝2.