人教A版必修4《正弦函数、余弦函数的图象》学案.doc

1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 自主学习 知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图 步骤： (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 0 －1 0 1 (2)描点： 画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向______平移个单位长度即可． 自主探究 已知0≤x≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x与cos x的大小关系． 对点讲练 知识点一　利用“五点法”作正、余弦函数的图象 例1　利用“五点法”画函数y＝－sin x＋1(0≤x≤2π)的简图． 回顾归纳　作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 变式训练1　利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图． 知识点二　利用三角函数图象求定义域 例2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域． 回顾归纳　一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍． 变式训练2　求函数f(x)＝＋lg(8x－x2)的定义域． 知识点三　利用三角函数的图象判断方程解的个数 例3　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数． 回顾归纳　三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 变式训练3　求方程x2＝cos x的实数解的个数． 1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础． 2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一. 课时作业 一、选择题 1．函数y＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是(　　) A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．直线x＝ 2．函数y＝－cos x的图象与余弦函数y＝cos x的图象(　　) A．只关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点、x轴对称 D．关于原点、坐标轴对称 3．如果x∈[0,2π]，则函数y＝＋的定义域为(　　) A．[0，π] B. C. D. 4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 5．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积(　　) A．4 B．8 C．4π D．2π 二、填空题 6．函数y＝的定义域为____________． 7．函数y＝的定义域是______________． 8．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________． 三、解答题 9．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝－sin x (0≤x≤2π)；(2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)． 10．分别作出下列函数的图象． (1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R. §1.4　三角函数的图象与性质 1．4.1　正弦函数、余弦函数的图象 答案 知识梳理 1．(1)正弦　余弦 2．(2)(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)　(0,1)，，(π，－1)，， (2π，1) 3．左 自主探究 解　正、余弦曲线如图所示． 由图象可知①当x＝或x＝时，sin x＝cos x， ②当<x<时，sin x>cos x. ③当0≤x<或<x≤2π时，sin x<cos x. 对点讲练 例1　解　利用“五点法”作图 取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． 变式训练1　解　取值列表得： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点连线，如图所示． 例2　解　由题意，x满足不等式组， 即，作出y＝sin x的图象，如图所示． 结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)． 变式训练2　解　由，得. 画出y＝cos x，x∈[0,3π]的图象，如图所示． 结合图象可得：x∈∪. 例3　解　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象． 描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示． 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个． 变式训练3　解　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解． 课时作业 1．D 2．C　[结合图象易知．] 3．C　[∵sin x≥0且－cos x≥0，∴x∈.] 4．A　 [∵sin x>|cos x|， ∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|， x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.] 5．C　[数形结合，如图所示． y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，x＝， y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.] 6. (k∈Z) 解析　x应满足： 综合正、余弦函数图象可知： －＋2kπ<x≤＋2kπ. 7. ，(k∈Z) 解析　由2cos x＋1≥0，得cos x≥－， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 8. 解析　由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π] 与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示： 观察图象得：≤x≤. 9．解　利用“五点法”作图． (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． (2)列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1＋cos x 2 1 0 1 2 描点作图，如图所示． 10．解　(1)y＝|sin x|＝(k∈Z)． 其图象如图所示， (2)y＝sin|x|＝， 其图象如图所示，