3.2.1直线的点斜式方程.doc

3.2.1 直线的点斜式方程 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别. 3．情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题. （二）教学重点、难点： （1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程. （2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用. （三）教学设想 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式. 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知. 概念形成 2．直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系. 学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，，即y – y0 = k (x – x0) （1） 老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程. 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法. 3．（1）过点P0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ 学生验证，教师引导. 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件. （2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？ 学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form). 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件. 概念深化 4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 学生分组互相讨论，然后说明理由. 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围. 5．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？ （2）经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？ （3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？ 教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决. 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式. 应用举例 6．例1. 直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画. x y 6 4 2 1 –1 –2 0 P0 P1 例1 解析：直线l经过点P0 (–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得 y – 3 = x + 2 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1 的坐标为（– 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如右图. 学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件： （1）一个定点； （2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法. 概念深化 7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程. 学生独立求出直线l的方程：y = kx + b （2） 再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵. 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形. 8．观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？ 学生讨论，教师及时给予评价. 深入理解和掌握斜截式方程的特点？ 9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？ 学生思考回答，教师评价. 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别. 方法探究 10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？ 学生思考、讨论，教师评价. 归纳概括. 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 应用举例 11．例2 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论： （1）l1∥l2的条件是什么？ （2）l1⊥l2的条件是什么？ 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 = –1. 例2 解析：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 . 于是我们得到，对于直线 l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2 l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 = –1. 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义. 12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题. 学生独立完成，教师检查反馈. 巩固本节课所学过的知识. 归纳 13．小结 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉. 课后作业 见习案3.2的第一课时 学生课后独立完成. 巩固深化 备选例题 例1 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是. （1）经过点； （2）在y轴上的截距是–5. 【解析】∵直线的斜率， ∴其倾斜角=120° 由题意，得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率. （1）∵所求直线经过点，斜率为， ∴所求直线方程是，即. （2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为–5， ∴所求直线的方程为， 即 【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0. （2）截距和距离是两不同的概念，y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距. 例2 直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程. 【解析】设直线l的斜率为k， ∵直线l过点(–2，3)， ∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得. ∴A、B两点的坐标分别为A，B(0，2k + 3). ∵AB的中点为(–2，3) ∴ ∴直线l的方程为，即直线l的方程为3x – 2y +12 = 0. 4