人教版A版高中数学选修2-2第一章+1.7《定积分的简单应用》【教案】.doc

1.7定积分的简单应用 教学目标： 1、知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 2、过程与方法： 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分在实际中的应用 3、情感、态度与价值观： 通过定积分在几何和物理中的应用，进一步感受极限的思想 教学重点：定积分在几何和物理中的应用 教学难点：定积分在几何和物理中的应用 教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以= A B C D O 例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S. 解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组 得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) . 直线与x轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S2 . 例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。 答案： （二）定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 解：由速度一时间曲线可知： 因此汽车在这 1 min 行驶的路程是： 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . （2）．变力作功 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作 功问题．可以得到 例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数． 由变力作功公式，得到 答：克服弹力所作的功为. 练习： 1、求直线与抛物线所围成的图形面积。 答案： 2、求由抛物线及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：，切线方程分别为、，则所求图形的面积为 3、如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分 总结： 1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤： （1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； （2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数； （4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））； ③由两条曲线与直线 y a b x y a b x y a b x 所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））； 图（1） 图（2） 图（3） （2）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））； ③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））； y a b x y a b x y a b x 图（4） 图（5） 图（6） 四：课堂小结 1、利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。 2、定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。 五、作业：