人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十一） 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质的应用 探究导学课型 Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(十一) 椭圆方程及性质的应用 (25分钟　60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为　(　　) A.1 B.1或2 C.2 D.0 【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点. 2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是　(　　) A.-<a< B.a<-或a> C.-2<a<2 D.-1<a<1 【解析】选A.由题意知+<1，解得-<a<. 【拓展延伸】点与椭圆的位置关系 已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则 ①点P在椭圆外⇔+>1； ②点P在椭圆上⇔+=1； ③点P在椭圆内⇔+<1. 3.(2015·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e=　(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)， 由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0， 所以=c， 因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0， 解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=. 【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为　(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦， 则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36. 所以4a=36，a=9. 由已知=5，即=5. 又a=9，解得c=6， 解得=，即e=. 4.(2015·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM=　(　　) A.- B.- C.- D.- 【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)， 则B(-x1，-y1)， kAM·kBM=·= ==-. 【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)， M(0，b)，可得kAM·kBM=-. 【补偿训练】(2015·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为　(　　) A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2 【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)， 则+=1，+=1，两式作差得 = 所以kAB·kOM=·===e2-1. 5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是　(　　) A.b2 B.ab C.ac D.bc 【解析】选D.如图，=+=2. 又因为|OF1|=c为定值， 所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大， 此时的面积最大为bc. 所以的最大值为bc. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________. 【解析】将椭圆与直线方程联立： 解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F， 则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2| =. 答案： 7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________. 【解析】由消去y， 得(m+n)x2-2nx+n-1=0. 则MN的中点P的坐标为. 所以kOP==. 答案： 8.(2015·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________. 【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<，故离心率的范围为. 答案： 三、解答题(每小题10分，共20分) 9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍. (1)求动点M的轨迹C的方程. (2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率. 【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率. 【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1. 所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1. (2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得： (3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±， 所以直线m的斜率k=±. 10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程. (2)当△AMN的面积为时，求k的值. 【解析】(1)由题意得解得b=. 所以椭圆C的方程为+=1. (2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. Δ=24k2+16>0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=， x1x2=， 所以|MN|= = =. 又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=， 所以△AMN的面积为|MN|·d=. 由=，解得k=±1. (20分钟　40分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为　(　　) A.2 B.2 C.8 D.2 【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上， 所以+=1，可得m=2. 2.(2015·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1， 所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈. 【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为　 (　　) A. B. C. D. 【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长. 【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)， 所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-， 代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=， 所以|MN|=· =·=. 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2015·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________. 【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)， 要使直线和椭圆恒有公共点， 则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1， 整理，得≤1，解得m≥1. 又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5， 综上m的取值范围为m≥1且m≠5. 答案：m≥1且m≠5 4.(2015·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________. 【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0， 由Δ>0，得-<b<，故-<x<. 答案：x+4y=0(-<x<) 【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　) A.9x-y-4=0 B.9x+y-5=0 C.2x+y-2=0 D.2x-y+2=0 【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1　(1) +=1　(2) 由(1)(2)相减得： +(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1， 由题知x1≠x2，所以=-9， 则直线AB的方程y-=-9， 整理得9x+y-5=0. 三、解答题(每小题10分，共20分) 5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)， 由已知得 因为P在圆上，所以x2+=25， 即C的方程为+=1. (2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y=(x-3)代入C的方程， 得+=1，即x2-3x-8=0. Δ=(-3)2+32=41>0 所以x1+x2=3，x1x2=-8. 所以线段AB的长度为 |AB|= = ===. 6.(2014·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程. (2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程. 【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解. 【解析】(1)由题设知 解得a=2，b=，c=1， 所以椭圆的方程为+=1. (2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1， 所以圆心到直线的距离d=. 由d<1得|m|<.　(*) 所以|CD|=2=2=. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2-mx+m2-3=0， 由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3. 所以|AB|= =. 由=得=1，解得m=±，满足(*)， 所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-. 关闭Word文档返回原板块