人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十三） 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 探究导学课型 Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(十三) 双曲线的简单几何性质 (25分钟　60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±2x，则实数m等于　(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选D.由题意，得双曲线焦点在x轴上， 且a2=8，b2=m，所以a=2，b=. 又渐近线方程为y=±2x，所以=4.所以m=32. 2.(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为　(　　) A. B.2 C. D. 【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，如图所示， |AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N， 在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=. 【补偿训练】已知0<θ<，则双曲线C1：-=1与C2：-=1的　(　　) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 【解析】选D.因为0<θ<，所以双曲线C1的离心率 e1===， 而双曲线C2的离心率 e2=== ===，所以e1=e2. 3.(2015·石家庄高二检测)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是　(　　) A.15° B.25° C.60° D.165° 【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x，所以渐近线的倾斜角为30°或150°，所以∠POF不可能等于60°. 4.(2015·银川高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(，y0)在双曲线上，则·=　(　　) A.-12 B. -2 C.0 D.4 【解题指南】由渐近线方程求出b，得到双曲线方程，进而求出F1，F2及P的坐标即可. 【解析】选C.由渐近线方程为y=x知，=1， 所以b=， 因为点P(，y0)在双曲线上， 所以y0=±1， y0=1时，P(，1)，F1(-2，0)，F2(2，0)， 所以·=0， y0=-1时，P(，-1)，·=0. 5.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=　(　　) A.1或5 B.6 C.7 D.9 【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,所以=,因为b=3,所以a=2. 又||PF1|-|PF2||=2a=4,所以|3-|PF2||=4. 所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去). 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为________________. 【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为-y2=m，把 (4，)代入-y2=m，得m=1. 答案：-y2=1 7.(2015·揭阳高二检测)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________. 【解析】设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B， FB⊥AB，则|AF|2=|AB|2+|BF|2， 因为|AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2， 所以c2-a2-ac=0， 因为e=，所以e2-e-1=0， 因为e>1，所以e=. 答案： 【补偿训练】已知双曲线C：-=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是____________. 【解析】因为等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：-=1的离心率e>， 即>2.所以m>4. 答案：(4，+∞) 8.(2015·孝感高二检测)双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________. 【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n(m>n)，所以a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，m-n=2a=6， 又PF1⊥PF2.所以△PF1F2为直角三角形. 即m2+n2=(2c)2=100. 由m-n=6，得m2+n2-2mn=36， 所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32. 设点P到x轴的距离为d， =d|F1F2|=|PF1|·|PF2|， 即d·2c=mn.所以d===3.2， 即点P到x轴的距离为3.2. 答案：3.2 三、解答题(每小题10分，共20分) 9.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±x，求双曲线的离心率. (2)双曲线的离心率为，求双曲线的两条渐近线的夹角. (3)双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程. 【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x， 所以=或=. 当=时，e=；当=时，e=. (2)因为e==，所以=，即a=b， 所以双曲线渐近线方程为y=±x. 所以双曲线两条渐近线的夹角为90°. (3)因为点A与圆心O连线的斜率为-， 所以过A的切线的斜率为4. 所以双曲线的渐近线方程为y=±4x. 设双曲线方程为x2-=λ. 因为点A(4，-1)在双曲线上， 所以16-=λ，λ=. 所以双曲线的标准方程为-=1. 10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程. (2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1，双曲线方程为-=1(a， b，m，n>0，且a>b)，则 解得：a=7，m=3，所以b=6，n=2， 所以椭圆方程为+=1，双曲线方程为-=1. (2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，所以|PF1|=10，|PF2|=4， 所以cos∠F1PF2==，所以sin∠F1PF2=. 所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=·10·4·=12. (20分钟　40分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为 (0，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】选A.2a+2b=·2c，即a+b=c， 所以a2+2ab+b2=2(a2+b2)， 所以(a-b)2=0，即a=b. 因为一个顶点坐标为(0，2)， 所以a2=b2=4， 所以y2-x2=4，即-=1. 【补偿训练】渐近线方程为3x±4y=0，焦点为椭圆+=1的短轴端点的双曲线方程为________. 【解析】双曲线的焦点为椭圆的短轴端点，即(0，)，(0，-)，所求双曲线方程可设为-=1(λ>0)， 所以5=9λ+16λ，λ=. 故所求的双曲线方程为-=1. 答案：-=1 2.已知实数4，m，9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线+y2=1的离心率为　(　　) A. B. C.或 D.或7 【解析】选C.因为4，m，9成等比数列，所以m2=36，所以m=±6.当m=6时，圆锥曲线方程为+y2=1，其离心率为；当m=-6时，圆锥曲线方程为y2-=1，其离心率为. 【补偿训练】两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b，则双曲线-=1的离心率为________. 【解析】因为两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b， 所以解得a=5，b=4， 所以双曲线方程为-=1， 所以c==， 所以双曲线-=1的离心率e==. 答案： 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2015·广州高二检测)若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线的斜率为________. 【解析】双曲线的离心率e====，所以=，其渐近线的方程为y=±x，其斜率为±. 答案：± 4.(2015·郑州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_____. 【解题指南】利用双曲线方程和直线方程求出B点的坐标，可得三角形的高. 【解析】双曲线-=1的右顶点为A(3，0)，右焦点为F(5，0)(由于两渐近线关于x轴对称，因此设与任何一条渐近线平行的直线均可)， 一条渐近线为y=-x， 则BF所在直线为y=-(x-5)， 由得B， 所以S△AFB=·|AF|·|yB|=. 答案： 三、解答题(每小题10分，共20分) 5.(2015·青岛高二检测)已知F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，求C2的离心率. 【解析】设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0，b>0)，|AF1|=m，|AF2|=n， 因为A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，所以m+n=4，n-m=2a，所以m=2-a，n=2+a.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF1⊥AF2.因为|F1F2|=2，所以m2+n2=12，即8+2a2=12，所以a=，所以e===. 6.(2015·衡阳高二检测)过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且·=-6，求双曲线的方程. 【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x， 则过F且与其垂直的直线方程为y=-(x-2). 由 可得点P的坐标为. 所以=， ·=(2，0)·=-6. 解得a2=2，所以b2=c2-a2=(2)2-2=6， 所以双曲线方程为-=1. 【一题多解】设双曲线的一条渐近线方程为y=x， 因为点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为 所以=，=(2，0). 由·=-6得2(x-2)=-6，即x=. 又由·=0，得x(x-2)+=0， 代入x=，得=3. 而a2+b2=(2)2=8， 所以a2=2，b2=6. 所以双曲线方程为-=1. 关闭Word文档返回原板块