人教A版必修四平面向量共线的坐标表示学案[学习目标]1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．[知识链接]1．向量共线定理是什么？答a与非零向量b为共线向量，当且仅当有唯一一个实数λ使得a＝λb.2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．[预习导引]1．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有＝.即两向量的相应坐标成比例．2．若P1P＝λPP2，则P与P1、P2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈(－∞，－1)时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈(－1,0)时，P位于线段P1P2的反向延长线上．要点一向量共线的判定例1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．CD＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 (－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，∴AB与CD共线且方向相反．方法二 CD＝－2AB，∴AB与CD共线且方向相反．规律方法此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪演练1已知A、B、C三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明设点E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．依题意有，AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)． AE＝AC，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，∴点E的坐标为.同理点F的坐标为.∴EF＝.又×(－1)－4×＝0，∴EF∥AB.要点二利用向量共线求参数例2已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解方法一ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，∴解得k＝λ＝－.∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－(a－3b)＝－a＋b. λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．方法二由解法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)...
