2018版高中数学（人教A版）必修2同步练习题： 第4章 章末综合测评4.doc

章末综合测评(四)　圆与方程 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是(　　) A．2 B．2 C．9 D. 【解析】　由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB|＝＝. 【答案】　D 2．当圆x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面积最大时，圆心坐标是(　　) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1) 【解析】　圆的标准方程得：(x＋1)2＋＝1－，当半径的平方1－取最大值为1时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1,0)． 【答案】　B 3．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．内含 D．内切 【解析】　把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离d＝＝2＝|r1－r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D. 【答案】　D 4．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 【解析】　依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得＝，即3x－y－5＝0，故选A. 【答案】　A 5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【解析】　由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交． 【答案】　B 6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0 【解析】　圆心C(1,0)，kPC＝＝－1， 则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2， 即x－y－3＝0，故选D. 【答案】　D 7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1 【解析】　设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1. 【答案】　A 8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　) A．36 B．18 C．6 D．5 【解析】　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为3，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6. 【答案】　C 9．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为(　　) A．－3 B．3 C．－3或3 D．以上都不对 【解析】　圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为，由题意得＝－1，解得a＝±3. 【答案】　C 10．若圆(x－5)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离等于1，则实数r的取值范围为(　　) A．[4,6] B．(4,6) C．[5,7] D．(5,7) 【解析】　因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4<r<6. 【答案】　B 11．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2 【解析】　设点(－2,2)关于直线x－y－1＝0的对称点为Q(m，n)，则解得m＝3，n＝－3，所以圆C2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故选D. 【答案】　D 12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　) A．1 B. C．2 D．2 【解析】　由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A. 【答案】　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段AB中点D的坐标为________. 【解析】　设D(x，y，z)，由中点坐标公式可得x＝＝3，y＝＝4，z＝＝－2，所以D(3,4，－2)． 【答案】　(3,4，－2) 14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】　原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25. 【答案】　x2＋y2＝25 15．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________________． 【解析】　圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x＋4y＋D＝0， 由点到直线的距离公式，得 ＝2，即＝2， 解得D＝5或－15. 故所求的直线方程为：3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0. 【答案】　3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0 16．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________． 【解析】　x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又kBQ＝3，∴所求范围是. 【答案】　 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程． 【解】　法一：∵圆心在y轴上， 设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2. ∵该圆经过A、B两点， ∴∴ 所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10. 法二：线段AB的中点为(1,3)， kAB＝＝－， ∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)， 即y＝2x＋1. 由得(0,1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r为 ＝， ∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. 18．在三棱柱ABO­A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小． 【解】　如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz. 由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)． 由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)， 设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得 |EC|＝ ＝， 故当z＝1时，|EC|取得最小值为，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点． 19．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B. (1)求直线PA，PB的方程； (2)求过P点的圆C的切线长． 【解】　(1)切线的斜率存在，设切线方程为 y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 圆心到直线的距离等于，即＝， ∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1， 故所求的切线方程为 y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)， 即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0. (2)在Rt△PAC中|PA|2＝|PC|2－|AC|2 ＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P点的圆C的切线长为2. 20．(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线． 【解】　设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC. 又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|. ∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2， ∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0， 即x2＋(y－1)2＝7. ∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆． 21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)． 图1 (1)求以线段AC为直径的圆E的方程； (2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长． 【解】　(1)AC的中点E(0,2)即为圆心， 半径r＝|AC|＝＝， 所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5. (2)直线BC的斜率k＝＝， 其方程为y－1＝(x－2)，即3x－4y－2＝0. 点E到直线BC的距离为d＝＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)． 图2 (1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程； (2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程． 【解】　(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0， 化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50. 所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)， 又圆N的圆心在直线y＝x上， 所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)， 则有＝， 解得a＝3， 所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝3， 故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18. (2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ. 所以点C到直线m的距离为5. 当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0. 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6， 即kx－y＋6＝0. 所以＝5，解得k＝. 所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0， 即48x－55y＋330＝0， 故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.