2018版高中数学（人教A版）必修2同步教师用书： 第4章 章末综合测评4.doc

章末分层突破 [自我校对] ①(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) ③|O1O2|＞r1＋r2 ④|O1O2|＝r1＋r2 ⑤|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2 　 (教师用书独具) 求圆的方程 求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答． 过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 　求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程. 【精彩点拨】　解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解． 【规范解答】　法一：设所求圆为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0， 化为一般式，得x2＋y2－x＋y－＝0. 故圆心坐标为， 代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－. 再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0， 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 法二：解方程组 得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)． 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上， ∴ 解得 ∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0. [再练一题] 1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程． 【解】　设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0. 又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8. 由得 由得 所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程． 2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题． 　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 【精彩点拨】　分斜率存在与不存在两种情况： (1)⇒⇒⇒⇒ (2)⇒ 【规范解答】　(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0. 示意图如图，作MC⊥AB于C. 在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2， 故|MC|＝＝1， 由点到直线的距离公式得＝1， 解得k＝. 故直线l的方程为3x－4y＋6＝0. (2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2， 且|AB|＝2，所以符合题意． 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. [再练一题] 2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程． 【解】　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为. 由题意得 解得或 ∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 轨迹问题 1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等． 2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分． 　如图4­1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 图4­1 【精彩点拨】　由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|＝|PN|求出P点的轨迹方程． 【规范解答】　如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)． 在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1， 在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1. 又因为|PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，即 |PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，即|PO1|2＋1＝2|PO2|2， 所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]， 整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点P的轨迹方程． [再练一题] 3．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. 【解】　设另一端点C的坐标为(x，y) . 依题意，得|AC|＝|AB|. 由两点间距离公式， 得＝ ， 整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10. 这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点． 因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)． 又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以≠4.且≠2，即点C不能为(5，－1)． 故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))． 综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点. 数形结合思想 1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题． 2．(1)形如u＝的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离的最值问题． 　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． (1)求的最大值与最小值； (2)求x－2y的最大值与最小值． 【精彩点拨】　利用式子与x－2y的几何意义求解． 【规范解答】　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率． 对上式整理得kx－y－k＋2＝0， ∴＝1， ∴k＝. 故的最大值是，最小值是. (2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得． 依题意，得＝1，解得u＝－2±， 故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－. [再练一题] 4．若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值． 【解】　原方程化为 (x＋4)2＋(y－3)2＝9， 设x＋y＝b，则y＝－x＋b， 可见x＋y的最小值就是过圆(x＋4)2＋(y－3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b的最小值，此时，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式得＝3. 解得b＝3－1或b＝－3－1， 所以x＋y的最小值为－3－1. 1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1　 B．2 C. D．2 【解析】　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝. 【答案】　C 2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．－ B．－ C. D．2 【解析】　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－. 【答案】　A 3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【解析】　法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)． ∵圆M截直线所得线段长度为2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2. 又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交． 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a. 依题意，有＝，解得a＝2. 以下同法一． 【答案】　B 4．已知a∈R方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 【解析】　由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆； 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5. 【答案】　(－2，－4)　5 5．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________. 【解析】　圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π. 【答案】　4π