2018版高中数学（人教A版）必修2同步教师用书： 第2章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系.doc

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系 1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． 2．理解平行公理(公理4)和等角定理．(重点) 3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1　空间直线的位置关系 阅读教材P44～P45“探究”以上的内容，完成下列问题． 1．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托) 图2­1­10 2．空间两条直线的位置关系 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．(　　) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(　　) (3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．(　　) (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．(　　) 【解析】　(1)错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面． (2)正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面． (3)错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线． (4)错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 教材整理2　公理4及等角定理 阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容，完成下列问题． 1．公理4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⇒a∥c. 2．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 【解析】　因为AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR与∠ABC相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°. 【答案】　B 教材整理3　异面直线所成的角 阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题． 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ_≤90°. 3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 如图2­1­11，正方体ABCD­A′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________． 图2­1­11 【解析】　∵A′B′∥AB， ∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′与BC所成的角为90°. ∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°. 【答案】　90°　45° [小组合作型] 空间两直线位置关系的判定 　如图2­1­12，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： 图2­1­12 ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 【精彩点拨】　判断两直线的位置关系，主要依据定义判断． 【自主解答】　根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”．同理，直线AB与直线B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”． 【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面 1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面． [再练一题] 1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(　　) A．a∥c　 B．a、c是异面直线 C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面 (2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【解析】　(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面． (2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c. 【答案】　(1)D　(2)C 公理4、等角定理的应用 　如图2­1­13，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． 图2­1­13 (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【精彩点拨】　(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明． 【自主解答】　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴M1M＝AA1且M1M∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． (2)法一　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 法二　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． [再练一题] 2．如图2­1­14，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点． 图2­1­14 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1. 【证明】　(1)如图，连接AC，在△ACD中， ∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质得： AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1， ∴四边形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补． 而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. [探究共研型] 求异面直线所成的角 探究1　已知直线a，b是两条异面直线，如图2­1­15，如何作出这两条异面直线所成的角？ 图2­1­15 【提示】　如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a，b所成的角． 探究2　异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？ 【提示】　异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上． 　如图2­1­16，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小． 图2­1­16 【精彩点拨】　根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决． 【自主解答】　如图，取BD的中点M，连接EM、FM. 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以EM綊AD，FM綊BC， 则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角． 因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1， 在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H， 在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝， 则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°. 求两异面直线所成的角的三个步骤 1．作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角． 2．证：证明作出的角就是要求的角． 3．计算：求角的值，常利用解三角形得出． 可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°< θ ≤90°. [再练一题] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角． 【解】　如图，连接BD、A1D， ∵ABCD­A1B1C1D1是正方体， ∴DD1綊BB1， ∴四边形DBB1D1为平行四边形， ∴BD ∥B1D1. ∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线， ∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形， ∴∠A1BD＝60°. ∵∠A1BD是锐角， ∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角， ∴A1B与B1D1所成的角为60°. 1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　) A．平行　　 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 【解析】　不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l. 【答案】　C 2．下列命题中，正确的结论有(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】　由公理4及等角定理知，只有②④正确． 【答案】　B 3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 【解析】　由等角定理可知β＝135°. 【答案】　135° 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________. 【解析】　如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1. 【答案】　DC，BC，D1C1，B1C1 5．如图2­1­17所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角． 图2­1­17 【解】　取AC的中点G，连接EG，FG， 则FG∥CD，EG∥AB， 所以∠FEG即为EF与AB所成的角， 且FG＝CD，EG＝AB， 所以FG＝EG. 又由AB⊥CD得FG⊥EG， 所以∠FEG＝45°. 故EF和AB所成的角为45°.