3.1.2(一).doc

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 课时目标　1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明． 1．两角和与差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝__________________. C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________. 2．两角和与差的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________. S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________. 3．两角互余或互补 (1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与________互余． (2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与______________互补，____________与π－α互补． 一、选择题 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　) A. B. C. D. 2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　) A. B. C. D. 4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1 5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　) A．1 B．2 C．1＋ D．2＋ 6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题　号 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空题 7．化简sin＋cos的结果是________． 8．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________． 9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________． 10．式子的值是________． 三、解答题 11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． 12．证明：－2cos(α＋β)＝. 能力提升 13．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________． 14．求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值． 1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin cos α－cos sin α＝－cos α. 2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解． 3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 答案 知识梳理 1．cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β 2．sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β 3．(1)　＋α　－α　(2)π　π－α　α＋ 作业设计 1．A 2．B　[原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.] 3．C　[∵cos α＝，cos(α＋β)＝， ∴sin α＝，sin(α＋β)＝. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.] 4．D　[cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝kπ＋，k∈Z， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.] 5．B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)， ∵0≤x<， ∴≤x＋<. ∴f(x)max＝2.] 6．C　[∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B ∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.] 7．cos α 解析　原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α. 8. 解析　f(x)＝sin x－cos x＝＝＝sin. 9. 解析　 ∴， ∴＝＝. 10. 解析　原式＝ ＝ ＝＝tan 60°＝. 11．解　因为<β<α<， 所以0<α－β<， π<α＋β<. 又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， 所以sin(α－β)＝＝＝， cos(α＋β)＝－＝－＝－. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－. 12．证明　－2cos(α＋β) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 13．－ 解析　sin α＋cos ＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin ＝sin α＋cos α ＝ ＝ ＝sin＝. ∴sin＝. ∴sin＝－sin＝－. 14．解　设sin x＋cos x＝t， 则t＝sin x＋cos x＝＝sin， ∴t∈[－，]， ∴sin x·cos x＝＝. ∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x 即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]． 当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1. 此时，由sin＝－， 解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋. 此时，由sin＝，sin＝1. 解得x＝2kπ＋，k∈Z. 综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.