2018版高中数学（人教A版）必修3同步教师用书： 第2章 2.1.2 系统抽样.doc

2.1.2　系统抽样 1．记住系统抽样的方法和步骤．(重点) 2．会用系统抽样从总体中抽取样本．(难点) 3．能用系统抽样解决实际问题．(易错易混点) [基础·初探] 教材整理1　系统抽样的概念 阅读教材P58上半部分内容，完成下列问题． 先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本． 某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(　　) A．抽签法　　　　　　　 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．放回抽样法 【解析】　此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点． 【答案】　C 教材整理2　系统抽样的步骤 阅读教材P58下半部分内容，完成下列问题． 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)总体个数较多时可以用系统抽样．(　　) (2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．(　　) (3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有个号码．(　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 2．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(　　) A．5,10,15,20 B．2,6,10,14 C．2,4,6,8 D．5,8,11,14 【解析】　将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5. 【答案】　A 3．已知标有1～20号的小球20个，按下面方法抽样(按从小号到大号排序)： (1)以编号2为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________； (2)以编号3为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________． 【解析】　这20个小球分4组，每组5个，(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，这4球编号平均值为＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，这4球编号平均值为＝10.5. 【答案】　(1)9.5　(2)10.5 [小组合作型] 系统抽样的概念 　(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(　　) A．抽签法　　　　　　　 B．随机数法 C．系统抽样法 D．以上都不对 (2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________. 【精彩点拨】　解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断． 【尝试解答】　(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点． (2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40. 【答案】　(1)C　(2)40 判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体，(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样，(3)最后看是否等距抽样. [再练一题] 1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是(　　) A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动 B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况 D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况 【解析】　A．总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B.总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C.总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D.若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法． 【答案】　C 系统抽样的方案设计 　某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程． 【精彩点拨】　按1∶5的比例确定样本容量，再按系统抽样的步骤进行，关键是确定第1段的编号． 【尝试解答】　按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为×295＝59. 抽样步骤是： (1)编号：按现有的号码； (2)确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生； (3)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)； (4)那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293. 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k)，再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本. [再练一题] 2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　) A．10 B．11 C．12 D．16 【解析】　分段间隔k＝＝13，可推出另一个同学的学号为16，故选D. 【答案】　D [探究共研型] 系统抽样的特点 探究1　系统抽样有哪些特点？ 【提示】　(1)系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况； (2)剔除多余的个体及第1段抽样用简单随机抽样的方法； (3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等． 探究2　怎样判断一种抽样是否为系统抽样？ 【提示】　判断一种抽样是否为系统抽样，关键有两点： (1)是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等； (2)是否能将总体分成几个均衡的部分，在每个部分中是否能进行简单随机抽样． 探究3　在系统抽样中，N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗？ 【提示】　在系统抽样中， (1)若N能被n整除，则将比值作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的． (2)若N不能被n整除，则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的． 所以，系统抽样是公平的． 　为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程． 【精彩点拨】　→→→→→→ 【尝试解答】　(1)随机地将这1 003个个体编号为1,2,3，…，1 003； (2)利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后将1 000个个体重新编号为1,2,3，…，1 000； (3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体； (4)在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18； (5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998. 当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除. [再练一题] 3．从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程． 【解】　第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)； 第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝＝10个个体； 第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号； 第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本． 1．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为(　　) A．2　　　　 B．3　　　　 C．4　　　　 D．5 【解析】　因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A. 【答案】　A 2．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为(　　) A．24 B．25 C．26 D．28 【解析】　因为5 008＝200×25＋8，所以选B. 【答案】　B 3．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是 (　　) A．7 B．5 C．4 D．3 【解析】　由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5. 【答案】　B 4．在一个个体数目为2 003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为_________． 【解析】　因为采用系统抽样的方法从个体数目为2 003的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是. 【答案】　 5．中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月 饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取． 【解】　(1)将303盒月饼用随机的方式编号； (2)从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段； (3)在第一段000,001,002，…，029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l； (4)将编号为l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的个体抽出，组成样本． 学业分层测评(十)　系统抽样 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．为了检查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这种抽样方法为(　　) A．抽签法　　　　　 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．其他抽样 【解析】　根据系统抽样的概念可知，这种抽样方法是系统抽样． 【答案】　C 2．中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，每段容量为(　　) A．10 B．100 C．1 000 D．10 000 【解析】　将10 000个个体平均分成10段，每段取一个，故每段容量为1 000. 【答案】　C 3．系统抽样又称为等距抽样，从N个个体中抽取n个个体为样本，抽样间距为k＝(取整数部分)，从第一段1,2，…，k个号码中随机抽取一个号码i0，则i0＋k，…，i0＋(n－1)k号码均被抽取构成样本，所以每个个体被抽取的可能性是(　　) A．相等的 B．不相等的 C．与i0有关 D．与编号有关 【解析】　系统抽样是公平的，所以每个个体被抽到的可能性都相等，与i0编号无关，故选A. 【答案】　A 4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　) A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,8,16,32 【解析】　据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k＝＝10，故只有B符合条件． 【答案】　B 5．从2 004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会(　　) A．不全相等 B．均不相等 C．都相等 D．无法确定 【解析】　系统抽样是等可能的，每人入选的机率均为. 【答案】　C 二、填空题 6．下列抽样中不是系统抽样的是________． ①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0(1≤i0≤5)，以后选i0＋5，i0＋10号入选； ②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验； ③进行某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止； ④在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈． 【解析】　选项③不是系统抽样，因事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体等可能入选，其余3个间隔都相同，符合系统抽样的特征． 【答案】　③ 7．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6,30,42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是________. 【解析】　由题意，分段间隔k＝＝12，所以6应该在第一组，所以第二组为6＋12＝18. 【答案】　18 8．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为________． 【解析】　分段间隔是＝20，由于第1组抽出的号码为11，则第61组抽出的号码为11＋(61－1)×20＝1 211. 【答案】　1 211 三、解答题 9．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请写出用系统抽样抽取的过程． 【解】　(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分含100个个体． (3)在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56. (4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个样本容量为150的样本． 10．某校有2 008名学生，从中抽取20人参加体检，试用系统抽样进行具体实施． 【解】　(1)将每个人随机编一个号由0 001至2 008； (2)利用随机数表法找到8个号将这8名学生剔除； (3)将剩余的2 000名学生重新随机编号0 001至2 000； (4)分段，取间隔k＝＝100，将总体平均分为20段，每段含100个学生； (5)从第一段即为0 001号到0 100号中随机抽取一个号l； (6)按编号将l,100＋l,200＋l，…，1 900＋l共20个号码选出，这20个号码所对应的学生组成样本． [能力提升] 1．从2 016名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 016人中剔除16人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 016人中，每个人入选的机会(　　) A．都相等，且为　　 B．不全相等 C．均不相等 D．都相等，且为 【解析】　因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除16人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为. 【答案】　A 2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(　　) A．26,16,8　　　　　 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9 【解析】　依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)． 令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25； 令300＜3＋12(k－1)≤495，得＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17. 从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8. 【答案】　B 3．采用系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0 000,0 001，…，7 999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段的编号为________，已知最后一个入样编号是7 894，则开头5个入样编号是________． 【解析】　因为8 000÷50＝160，所以最后一段的编号为编号的最后160个编号． 从7 840到7 999共160个编号，从7 840到7 894共55个数，所以从0 000到第55个编号应为0 054，然后逐个加上160，得0 214,0 374,0 534,0 694. 【答案】　7 840～7 999　0 054,0 214,0 374,0 534,0 694 4．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题： 本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人； 应抽户数：30户； 抽样间隔：＝40； 确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12； 确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户； 确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户； …… (1)该村委采用了何种抽样方法？ (2)抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)何处是用简单随机抽样． 【解】　(1)系统抽样． (2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为：＝10，其他步骤相应改为：取一张人民币，编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个)，确定第一样本户：编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：02＋10＝12,12号为第二样本户，…. (3)确定随机数字用的是简单随机抽样即为取一张人民币，编码的后两位数为02.