2018版高中数学（人教A版）必修2同步练习题： 模块综合测评.doc

模块综合测评 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为(　　) A．6　　 B．1 C．2 D．4 【解析】　由题意知kAB＝＝－2，∴m＝6. 【答案】　A 2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是(　　) A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0 C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 【解析】　由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x－2y＋6＝0. 【答案】　C 3．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于(　　) A．2 B. C. D. 【解析】　设正方体的棱长为a，球的半径为R，则πR3＝π，∴R＝2.又∵a＝2R＝4，∴a＝. 【答案】　D 4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法： ①点P到坐标原点的距离为； ②OP的中点坐标为； ③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　点P到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A. 【答案】　A 5．如图1，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　) 图1 A．90° B．45° C．60° D．30° 【解析】　取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求， 可证△EFH为直角三角形， EH⊥EF，FH＝2，EH＝1， 从而可得∠EFH＝30°. 【答案】　D 6．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为(　　) 图2 A. B．π C. D．2π 【解析】　由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2×××13＝，选A. 【答案】　A 7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】　因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2. 【答案】　C 8．如图3，在斜三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在(　　) 图3 A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 【解析】　因为BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA＝B， 所以AC⊥平面BC1A.所以平面BAC⊥平面BC1A. 因为C1H⊥平面ABC，且H为垂足，平面ABC∩平面BC1A＝AB，所以H∈AB. 【答案】　B 9．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B．2 C. D．3 【解析】　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径为R＝OA＝＝. 【答案】　C 10．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　) A．4 B．2 C. D. 【解析】　P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝，∴a＝4，∴m的直线方程为4x－3y＝0，l的直线方程为4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4. 【答案】　A 11．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k的值是(　　) A．3 B. C．2 D．2 【解析】　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1， ∵PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，∴圆心到直线kx＋y＋4＝0的最小距离为， 由点到直线的距离公式可得＝， ∵k＞0，∴k＝2，故选D. 【答案】　D 12．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D­ABC的体积为(　　) A.a3 B. C.a3 D. 【解析】　取AC的中点O，如图， 则BO＝DO＝a， 又BD＝a，所以BO⊥DO，又DO⊥AC， 所以DO⊥平面ACB， VD­ABC＝S△ABC·DO ＝××a2×a＝a3. 【答案】　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝________. 【解析】　由于两直线平行，所以＝≠，∴m＝4. 【答案】　4 14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________． 【解析】　设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x. 横放时水桶底面在水内的面积为，水的体积为V水＝h. 直立时水的体积不变，则有V水＝πR2x， ∴x∶h＝(π－2)∶4π. 【答案】　(π－2)∶4π 15．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3，5)，另一顶点C的轨迹方程是________． 【解析】　设点C的坐标为(x，y)， 则由|AB|＝|AC|得 ＝， 化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225. 因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)． 【答案】　(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3) 16．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________. 【解析】　如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0， ∴kAB＝，∴∠BPD＝30°， 从而∠BDP＝60°. 在Rt△BOD中， ∵|OB|＝2，∴|OD|＝2. 取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB， ∴OH为直角梯形ABDC的中位线， ∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4. 【答案】　4 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程． 【解】　若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意； 若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0， 由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 综上知，满足条件的直线方程为 l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0. 18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程． 【解】　(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为，故圆心距为＝2，又0<2<2，故两圆相交． (2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0. 19．(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证： 图4 (1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 【证明】　(1)∵B1C1CB为正方形，∴E为B1C的中点，又D为AB1中点，∴DE为△B1AC的中位线，∴DE∥AC，又DE⊄平面A1C1CA，AC⊂平面A1C1CA， ∴DE∥平面AA1C1C. (2)在直三棱柱中，平面ACB⊥平面B1C1CB，又平面ACB∩平面B1C1CB＝BC，AC⊂平面ABC，且AC⊥BC，∴AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1，又B1C1CB为正方形，∴B1C⊥BC1，AC∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面ACB1，又AB1⊂平面ACB1，∴BC1⊥AB1. 20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0. (1)求△ABC的顶点B、C的坐标； (2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程． 【解】　(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC边所在直线的方程为x＝0， 又CD边所在直线的方程为2x－2y－1＝0， 所以C， 设B(b,0)，又A(0,1)， 则AB的中点D， 代入方程2x－2y－1＝0， 解得b＝2， 所以B(2,0)． (2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，① 由与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y＋x＋3＝0，② ①②联立可得，M， 半径|MA|＝＝， 所以所求圆方程为＋＝. 21．(本小题满分12分)如图5，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． 图5 (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E­ABC的体积． 【解】　(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中， BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC， 所以AB⊥平面B1BCC1， 又AB⊂平面ABE， 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 所以FG∥AC，且FG＝AC. 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. (3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝. 所以三棱锥E­ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝. 22．(本小题满分12分)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值. 【解】　(1)法一　线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x－y＝0. 解方程组解得 所以圆M的圆心坐标为(1,1)， 半径r＝＝2. 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二　设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(r＞0)， 根据题意得 解得a＝b＝1，r＝2. 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由题知，四边形PCMD的面积为 S＝S△PMC＋S△PMD＝|CM|·|PC|＋|DM|·|PD|. 又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|， 所以S＝2|PC|， 而|PC|＝ ＝， 即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以 |PM|min＝＝3， 所以四边形PCMD面积的最小值为 S＝2＝2＝2.