2018版高中数学（人教A版）必修1同步教师用书：第2章 2.3 幂函数.doc

2.3　幂函数 1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点) 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点) [基础·初探] 教材整理1　幂函数的概念 阅读教材P77至倒数第二自然段，完成下列问题． 幂函数：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x－是幂函数．(　　) (2)函数y＝2－x是幂函数．(　　) (3)函数y＝－x是幂函数．(　　) 【解析】　(1)√.函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数； (2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数； (3)×.幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 教材整理2　幂函数的图象与性质 阅读教材P77倒数第二自然段至P78“例1”以上部分，完成下列问题． 幂函数的图象与性质： 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图 象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈(0，＋∞)增 x∈(－∞，0]减 增 增 x∈(0，＋∞)减 x∈(－∞，0)减 公共点 (1,1) 幂函数的图象过点(3, )，则它的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞)　　　　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 【解析】　设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3, )，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B. 【答案】　B [小组合作型] 幂函数的概念 　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 (2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2, )，则f(9)＝________. (3)幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，则m＝________. 【精彩点拨】　(1)结合幂函数y＝xα的定义判断． (2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m的关系式，解之即可． 【自主解答】　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. (2)由题意，令y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2，)，得＝2α，α＝，∴y＝f(x)＝x，∴f(9)＝3. (3)∵f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数， ∴ ∴m＝－1. 【答案】　(1)B　(2)3　(3)－1 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1. [再练一题] 1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________. 【导学号：97030116】 【解析】　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝. 【答案】　 幂函数的图象与性质 　 (1)如图2­3­1所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) 图2­3­1 A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ (2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－<(5－2a)－的a的取值范围． 【精彩点拨】　(1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象； (2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式． 【自主解答】　(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B. 【答案】　B (2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2. 因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)－<(5－2a)－. 因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a<a＋3<0或a＋3<0<5－2a，解得<a<或a<－3. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． [再练一题] 2．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． 【解】　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1. ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． [探究共研型] 幂值的大小比较 探究1　幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 【提示】　当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 探究2　23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】　23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2. 探究3　2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】　2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2. 　比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)2，1.8；(4)1.2，0.9－，. 【精彩点拨】　构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】　(1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y＝x是增函数，且2＞1.8，∴2>1.8. 又∵y＝1.8x是增函数，且>， ∴1.8>1.8，∴2>1.8. (4)0.9－＝，＝1.1. ∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.2>>1.1，即1.2>0.9－>. 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8. [再练一题] 3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】 【解】　(1)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数． 又3<3.1，所以3－>3.1－. 1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)　　 　　　　　　 　　　　　 A. B．4 C. D. 【解析】　设幂函数为y＝xα.∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，故选C. 【答案】　C 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) 【导学号：97030118】 A．y＝x B．y＝x－ C．y＝x D．y＝x 【解析】　A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)． 【答案】　D 3．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【解析】　当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A. 【答案】　A 4．函数y＝x的图象是(　　) 【解析】　显然函数y＝x是奇函数．同时当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x. 【答案】　B 5．比较下列各组数的大小： 【解】　(1) ，函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，又>，则 从而 因为函数在(0，＋∞)上为减函数， 又>，所以