2018版高中数学（人教A版）必修1同步教师用书：章末分层突破2.doc

章末分层突破 [自我校对] ①分数指数幂 ②互为反函数 ③对数函数 ④y＝logax(a＞0，且a≠1) ⑤x＝logaN(a>0，且a≠1) ⑥y＝xα 指数、对数的运算 解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N >0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算． 　计算： (1)2log32－log3＋log38－5log53； (2)0.064－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01. 【精彩点拨】　(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出． 【规范解答】　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1. (2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝. [再练一题] 1．计算： (1)－0＋0.25×－4； (2)log3＋2log510＋log50.25＋71－log72. 【解】　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3. (2)原式＝log3＋log5(100×0.25)＋7÷7log72＝log33－＋log552＋＝－＋2＋＝. 指数、对数型函数的定义域、值域 求指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解，有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性． 涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y＝af(x)和y＝logaf(x)的函数，一般要先求f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y＝f(ax)和y＝f(logax)的函数，则要根据ax和logax的范围，利用函数y＝f(x)的性质求解． 　(1)求函数y＝x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域； (2)已知－3≤logx≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值． 【精彩点拨】　(1)令t＝x2－2x＋2，则y＝t.根据x的范围，求得t的范围，可得函数y＝t的范围． (2)由f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2，结合二次函数的性质即可求解． 【规范解答】　(1)令t＝x2－2x＋2，则y＝t. 又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,0≤x≤3， ∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5. 故1≤t≤5，∴5≤y≤1， 故所求函数的值域为. (2)∵－3≤logx≤－，∴≤log2x≤3， ∴f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－. 当log2x＝3时，f(x)max＝2； 当log2x＝时，f(x)min＝－. [再练一题] 2．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值． 【导学号：97030122】 【解】　令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4，则 y＝22x－1－3·2x＋5＝k2－3k＋5. 又y＝(k－3)2＋，k∈[1,4]， ∴y＝(k－3)2＋在k∈[1,3]上是减函数， 在k∈[3,4]上是增函数，∴当k＝3时，ymin＝； 当k＝1时，ymax＝. 即函数的最大值为，最小值为. 幂、指数、对数函数的图象和性质 解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幂函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根． 对于图象的判断与选择可利用图象的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用． 　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B. C．(1，) D．(，2) 【精彩点拨】　由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可． 【规范解答】　当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1， 数形结合可知只需2＜logax，∴即对0＜x≤时恒成立，∴解得＜a＜1，故选B. 【答案】　B [再练一题] 3．若loga2＜0(a＞0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(　　) 【解析】　由loga2＜0(a＞0，且a≠1)，可得0＜a＜1，函数f(x)＝ax＋1＝a·ax， 故函数f(x)在R上是减函数，且经过点(0，a)，故选A. 【答案】　A 比较大小问题 数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 　比较下列各组中值的大小： (1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8； (2)log53，log63，log73. 【精彩点拨】　利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较． 【规范解答】　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9<log1.11＝0,0＝log0.71<log0.70.8<log0.70.7＝1， ∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9. (2)∵0<log35<log36<log37， ∴log53>log63>log73. [再练一题] 4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　　　　　 B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【解析】　∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C. 【答案】　C 分类讨论思想 所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现． 　已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈N)为偶函数，且f(3)<f(5)． (1)求m的值，并确定f(x)的解析式； (2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围． 【精彩点拨】　(1)结合f(3)<f(5)与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式． (2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围． 【规范解答】　(1)由f(3)<f(5)，得3－2m2＋m＋3<5－2m2＋m＋3， ∴－2m2＋m＋3<1＝0. ∵y＝x为减函数，∴－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<. ∵m∈N，∴m＝0或1. 当m＝0时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x3为奇函数，不合题意； 当m＝1时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x2为偶函数． 综上，m＝1，此时f(x)＝x2. (2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)． ①当0<a<1时，y＝logau在其定义域内单调递减，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递减，且u(x)>0. ∴无解； ②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0. ∴解得a<2. ∴实数a的取值范围为1<a<2. [再练一题] 5．设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小． 【导学号：97030123】 【解】　当0<a<1时，有a3<a2，即a3＋1<a2＋1. 又当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， ∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q； 当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1. 又当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， ∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q. 综上可得，P>Q. 1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A．－　　　 B．－　　　 C．－　　　 D．－ 【解析】　由于f(a)＝－3， ①若a≤1，则2a－1－2＝－3， 整理得2a－1＝－1. 由于2x>0，所以2a－1＝－1无解； ②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3， 解得a＋1＝8，a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－. 综上所述，f(6－a)＝－.故选A. 【答案】　A 2．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 【解析】　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1. 所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2， b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4， c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b. 【答案】　C 3．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 【解析】　因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 【答案】　C 4．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，则(　　) A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 【解析】　∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a＞b＞1,0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确． ∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时， ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确． ∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0， ∴＞.又∵0＜c＜1，∴lg c＜0. ∴＜，∴alogbc＜blogac，选项C正确． 同理可证logac＞logbc，选项D不正确． 【答案】　C 5．(2015·浙江高考)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________. 【解析】　log2＝log2－log22＝－1＝－；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3. 【答案】　－　3