2017版（人教版）高中数学选修1-1（检测）：2.3 抛 物 线 课后提升作业 十五 2.3.1 Word版含解析.doc

课后提升作业 十五 抛物线及其标准方程 (45分钟　70分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2016·新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y=0的距离大1,则动点C的轨迹是　(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 【解析】选A.由题意,点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y=-1的距离,所以点C的轨迹是抛物线. 【补偿训练】(2016·济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是　(　　) A.椭圆　　　　　　　　B.双曲线 C.抛物线 D.直线 【解析】选D.由于点F(1,1)在直线3x+y-4=0上,故满足条件的动点P的轨迹是一条直线. 2.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线标准方程是　(　　) A.y2=21x B.x2=12y C.y2=x D.x2=y 【解析】选B.由=3得p=6,且焦点在y轴正半轴上,故x2=12y. 3.焦点在x轴上,且焦点到准线距离为2的抛物线的标准方程是　(　　) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=±2x D.y2=±4x 【解析】选D.由抛物线标准方程中p的几何意义知p=2,焦点在x轴的抛物线开口向左,y2=-4x;开口向右,y2=4x. 4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是　(　　) A. B. C.- D.- 【解析】选A.由条件知a≠0,则y=ax2可以变形为x2=y,由于准线是y=-1,可知a>0,抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0),2p=,则p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=,故选A. 【补偿训练】抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是　(　　) A.　　 　B.　　　 C.|a|　　　D.- 【解析】选B.因为y2=ax,所以p=,即焦点到准线的距离为. 5.(2016·大连高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为　(　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=±8x 【解析】选D.由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x. 6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有　(　　) A.|P1F|+|P2F|=|P3F| B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 C.2|P2F|=|P1F|+|P3F| D.|P2F|2=|P1F|·|P3F| 【解析】选C.因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p, 得2=x1++x3+. 即2|P2F|=|P1F|+|P3F|. 7.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=　(　　) A.2∶ 　　 B.1∶2 C.1∶ 　　 D.1∶3 【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解. 【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0). 由条件知tanα=,所以sinα=, 由抛物线的定义知|MF|=|MG|, 所以==sinα==. 8.(2016·重庆高二检测)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为　(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积. 【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=±2, 所以=|OF|·|yP|=××2=2. 二、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2016·泰安高二检测)已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则点P的轨迹方程为________. 【解析】由题意可知点P到(3,0)的距离与它到x=-3的距离相等,故P的轨迹是抛物线,p=6,所以方程为y2=12x. 答案:y2=12x 10.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________. 【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10, 所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x. 将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=±6, 所以M(-9,6)或M(-9,-6). 答案:(-9,-6)或(-9,6) 【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为________. 【解析】设M(x,y),则由 得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍). 所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=. 答案: 三、解答题(每小题10分,共20分) 11.(2016·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 【解题指南】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求. 【解析】设动圆圆心为M(x,y),半径为r, 则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等, 则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y. 12.(2016·邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m) 【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物线方程求出相关点坐标即可获解. 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0). 依题意有P(-1,-1)在此抛物线上,代入得p=. 故得抛物线方程为x2=-y. 又B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=, 即|AB|=,则|O′B|=|O′A|+|AB|=+1, 因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m, 即水池的直径至少应设计为5m. 【补偿训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道?说明理由. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(-3,-3),A(3,-3). 设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 将B点的坐标代入,得9=-2p·(-3),所以p=,所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0). 因为车与箱共高4.5米, 所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5米. 设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5),D′的坐标为(-x0,-0.5), 则=-3×(-0.5),解得x0=±=±. 所以|DD′|=2|x0|=<3,故此车不能通过隧道. 【能力挑战题】 已知抛物线x2=4y,定点A(12,39),点P是此抛物线上的一动点,F是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值. 【解析】将x=12代入x2=4y, 得y=36<39. 所以点A(12,39)在抛物线内部, 抛物线的焦点为(0,1),准线l为y=-1. 过P作PB⊥l于点B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|, 由图可知,当P,A,B三点共线时, |PA|+|PB|最小. 所以|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40. 故|PA|+|PF|的最小值为40.