2018版高中数学（人教A版）必修4同步练习题：必考部分 第2章 2.4 2.4.1 学业分层测评18.doc

学业分层测评(十八) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(　　) A． B． C．3 D．2 【解析】　由数量积的几何意义知 a·b＝×3＝2，故选D． 【答案】　D 2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【解析】　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B． 【答案】　B 3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 【解析】　∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2 ＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2 ＝|a|2－2|a|－96＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0， ∴|a|＝6. 【答案】　C 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为(　　) 【导学号：00680056】 A． B． C． D． 【解析】　|a－b|＝＝＝， 设向量a与a－b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]， 所以θ＝.故选A． 【答案】　A 5．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是(　　) A．－25 B．25 C．－24 D．24 【解析】　因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2， 所以∠ABC＝90°， 所以原式＝·＋(＋)＝0＋·＝－2＝－25. 【答案】　A 二、填空题 6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________． 【解析】　∵(3a＋2b)⊥(λa－b)， ∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0， ∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b， ∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0， ∴12λ－2＝0，∴λ＝. 【答案】　 7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________. 【解析】　∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c， ∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49. 又a·b＝|a||b|cos 60°＝，∴m2＋3m－40＝0， 解得m＝5或m＝－8. 【答案】　5或－8 三、解答题 8．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． 【证明】　∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2， ∴a2＝b2， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝. (1)求向量a，b的夹角； (2)求|a－b|. 【解】　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝， ∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝. 又|a|＝1，∴|b|＝. ∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝， ∴cos θ＝，∴向量a，b的夹角为45°. (2)∵|a－b|2＝(a－b)2 ＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝， ∴|a－b|＝. [能力提升] 1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】　∵Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b夹角)． 若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a|·|b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ≤，又0≤θ≤π， ∴≤θ≤π. 【答案】　B 2．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角. 【导学号：70512036】 【解】　∵e1，e2为单位向量且夹角为60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝. ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－， |a|＝＝＝＝， |b|＝＝ ＝＝， ∴cos θ＝＝－×＝－. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°， ∴a与b的夹角为120°.