2018版高中数学（人教A版）必修3同步教师用书： 第2章 2.1.3 分层抽样.doc

2.1.3　分层抽样 1．记住分层抽样的特点和步骤．(重点) 2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点) 3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点) [基础·初探] 教材整理1　分层抽样的概念 阅读教材P60～P61上半部分内容，完成下列问题． 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表：(每名同学只参加一个小组) (单位：人) 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________． 【解析】　因为＝，所以解得a＝30. 【答案】　30 教材整理2　分层抽样的适用条件 阅读教材P61“探究”上面的内容，完成下列问题． 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 分层抽样的步骤 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分层抽样实际上是按比例抽样．(　　) (2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．(　　) (3)分层抽样中不能用简单随机抽样和系统抽样．(　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　) A．简单随机抽样　　　　 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 【解析】　因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C. 【答案】　C 3．有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽取的一等品有____________件． 【解析】　抽样为×10＝2. 【答案】　2 [小组合作型] 分层抽样的概念 　(1) 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 (2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽个体数量相同 【精彩点拨】　当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层抽样，结合(1)(2)中的四个选项及分层抽样的特点可对(1)(2)作出判断． 【尝试解答】　(1) A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样． (2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． 【答案】　(1)B　(2)C 1．使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 2．使用分层抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． [再练一题] 1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　) A．抽签法　　　　 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【解析】　由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层抽样法． 【答案】　D 分层抽样的方案设计 　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作． 【精彩点拨】　→→→→→ 【尝试解答】　∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥． ∵＝5， ∴＝2，＝14，＝4. ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本． 1．在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N. 2．分层后，各层的个体较多时，可采用系统抽样或简单随机抽样取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取． [再练一题] 2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆. 【解析】　三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1 200×＝6(辆)，6 000×＝30(辆)，2 000×＝10(辆)． 【答案】　6　30　10 [探究共研型] 分层抽样的特点 探究1　分层抽样的特点有哪些？ 【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的； (2)分成的各层互不交叉； (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量． 探究2　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？ 【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体． 探究3　分层抽样公平吗？ 【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关． 如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝. 三种抽样方法的特点和适用范围 探究4　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？ 【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关． 系统抽样容易实施，可节约抽样成本．系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差． 分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性． 三种抽样方法的特点及其适用范围如下表： 类别 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 各自 特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 将总体分成几层，分层进行抽取 相互 联系 在起始部分采用简单随机抽样 在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 适用 范围 总体中的个体数较少 总体中的个体数较多 总体由存在明显差异的几部分组成 共同点 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样 　选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程． (1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个； (2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个； (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个； (4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个． 【精彩点拨】　应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题． 【尝试解答】　(1)总体容量较小，用抽签法． ①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29； ②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签； ③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌； ④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码； ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本． (2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样． ①确定抽取个数．因为＝3，所以甲厂生产的应抽取＝7(个)，乙厂生产的应抽取＝3(个)； ②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本． (3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法． ①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300； ②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读； ③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码． (4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样． ①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含＝10(个)个体； ②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码； ③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本． 抽样方法的选取： (1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样； (2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样； (3)采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k＝；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝[] [再练一题] 3．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？ (1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查； (2)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本； (3)体育彩票000 001～100 000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖． 【解】　 题号 判断 原因分析 (1) 抽签法 总体容量较小，宜用抽签法 (2) 分层 抽样 由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样 (3) 系统 抽样 总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样 1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　) A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样 B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样 C．从一箱30个零件中抽取5个入样 D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样 【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样． 【答案】　D 2．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(　　) A．20,15,5　　　　　　　　　 B．4,3,1 C．16,12,4 D．8,6,2 【解析】　三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5. 【答案】　A 3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　) A．7,5,8 B．9,5,6 C．7,5,9　 D．8,5,7 【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)，25×＝5(人)，20－9－5＝6(人)． 【答案】　B 4．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类型 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量 130 由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件． 【解析】　抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×＝800(件)． 【答案】　800 5．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表： 第一车间 第二车间 第三车间 女工 173 100 y 男工 177 x z 已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15. (1)求x的值； (2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ 【解】　(1)由＝0.15，得x＝150. (2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250， ∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400. 设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20. ∴应在第三车间抽取20名工人． 学业分层测评(十一)　分层抽样 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．某地区为了了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽的居民家庭进行调查，这种抽样是(　　) A．简单随机抽样　　　　 B．系统抽样 C．分层抽样 D．分类抽样 【解析】　由于居民按行业可分为不同的几类，符合分层抽样的特点． 【答案】　C 2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　) A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,6 【解析】　抽样比例为＝，故各层中依次抽取的人数为160×＝8(人)，320×＝16(人)，200×＝10(人)，120×＝6(人)．故选D. 【答案】　D 3．在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球(　　) A．33个　　 B．20个 C．5个　　 D．10个 【解析】　设应抽红球x个，则＝，则x＝5. 【答案】　C 4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) 图2­1­1 A．200,20 B．100,20 C．200,10 D．100,10 【解析】　该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20. 【答案】　A 5．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有(　　) ①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样． A．②③ B．①③ C．③ D．①②③ 【解析】　由三种抽样方法的特点． 可知，选D. 【答案】　D 二、填空题 6．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________． 【解析】　应在丙专业抽取的学生人数是 ×40＝16. 【答案】　16 7．某校共有2 000名学生，各年级男、女生人数如表所示．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为_____________． 一年级 二年级 三年级 女生 373 380 y 男生 377 370 z 【解析】　依题意可知三年级学生人数为500，即总体中各年级的人数比例为3∶3∶2，故用分层抽样抽取三年级学生人数为64×＝16. 【答案】　16 8．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 【解析】　高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则50×＝15. 【答案】　15 三、解答题 9．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示： 人数 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 合计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ 【解】　(1)按老年、中年、青年分层抽样， 抽取比例为＝. 故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人， (2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层抽样，抽取比例为＝， 故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人． 10．某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路．在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本．试确定： (1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例； (2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数． 【解】　(1)设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%. (2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40%＝60； 抽取的高二教师人数为200××50%＝75； 抽取的高三教师人数为200××10%＝15. [能力提升] 1．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为(　　) A．8　　　　　　　 B．11 C．16 D．10 【解析】　若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为 ＝8. 【答案】　A 2．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为 (　　) A．60 B．80 C．120 D．180 【解析】　11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为. ∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本， ∴从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x＝900－120－180－240＝360(份)． ∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120(份)，故选C. 【答案】　C 3．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为________. 【解析】　总体容量N＝36. 当样本容量为n时，系统抽样间隔为∈N*，所以n是36的约数； 分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为，，，所以n应是6的倍数， 所以n＝6或12或18或36. 当样本容量为n＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为∈N*，所以n只能是6. 【答案】　6 4．某中学举行了为期3天的春季运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估． (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ (2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？ (3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？ 【解】　(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样． 因为样本容量＝120，总体个数＝500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：＝， 所以有500×＝8,3 000×＝48， 4 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64. 分层抽样的步骤是： ①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层． ②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64. ③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本． ④综合每层抽样，组成样本． 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论． (2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是： ①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001,0 002，0 003，…，3 000. ②在随机数表上随机选取一个起始位置． ③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止． (3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1,2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23,85,147,209,271,333,395,457，…，3 929.