2018版高中数学（人教A版）必修2同步练习题： 第2章 学业分层测评13.doc

学业分层测评(十三) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列说法： ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角； ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　根据二面角的定义知①②③都不正确． 【答案】　A 2．如图2­3­24，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　) 图2­3­24 A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PBC 【解析】　由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C. 【答案】　C 3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ A　[A正确．B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交，D错，有可能α与β相交．故选A.] 4．如图2­3­25，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　) 图2­3­25 A．60° B．30° C．45° D．15° 【解析】　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°， ∴C对． 【答案】　C 5．如图2­3­26，在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　) 图2­3­26 A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 【解析】　A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC； B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF， ∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C， ∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC； C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角； D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角． 【答案】　D 二、填空题 6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P­BC­A的大小为__________． 【解析】　取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°. 【答案】　90° 7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补． 你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”) 【解析】　如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A­C1D1­C为45°，二面角A­BC­C1为90°. 则这两个二面角既不相等又不互补． 【答案】　错误 三、解答题 8．如图2­3­27，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC. 图2­3­27 【证明】　∵PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PA.又tan ∠ABD＝＝， tan ∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. 又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC. 9．如图2­3­28，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC. 图2­3­28 【证明】　如图，连接OC，CB，因为OA＝OC， D是AC的中点，所以AC⊥OD. 又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC. [能力提升] 10．如图2­3­29所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD.则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是(　　) 图2­3­29 A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC 【解析】　在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC. 【答案】　D 11．在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为. (1)求证：平面ABD⊥平面CBD； (2)若M是AB的中点，求三棱锥A­MCD的体积． 图2­3­30 【解】　(1)证明：在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，OA＝4，∴OD＝3，翻折后变成三棱锥A­BCD，在△ACD中， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC ＝25＋25－2×5×5×＝32， 在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC， 又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD， 又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD. (2)∵M是AB的中点，所以A，B到平面MCD的距离相等， ∴VA－MCD＝VB－MCD＝VA－BCD＝S△BCD·AO＝8.