3.3.1几何概型.doc

3-3-1几何概型 一、选择题 1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝. 2．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为. 3．取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2 m的概率是(　　) A. B. C. D．不能确定 [答案]　B [解析]　如图所示，拉直后的绳子看成线段AB，且C、D是线段AB上的点，AC＝2m，BD＝2m，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何模型． 设剪得两段的长度都不小于2 m为事件E，设M是事件E的一个剪断点，则M∈CD，则事件E构成线段CD，则P(E)＝＝＝. 4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　) A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32 [答案]　C [解析]　矩形的面积S＝6×4＝24，设椭圆的面积为S1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A，则P(A)＝＝＝，解得S1＝16.32. 5．在区间上随机取一个数x，则事件“0≤sinx≤1”发生的概率为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　由于x∈，若0≤sinx≤1，则0≤x≤，设“0≤sinx≤1”为事件A，则P(A)＝＝＝. 6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　) A. B．1－ C. D．1－ [答案]　B [解析]　正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－. 7．在△ABC中，E、F、G为三边的中点，若向该三角形内投点，且点不会落在三角形ABC外，则落在三角形EFG内的概率为(　　) A. B. C. D.[来源:Zxxk.Com] [答案]　B 8．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　) A. B. C. D. [答案]　C[来源:Z|xx|k.Com] 9．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C[来源:学.科.网Z.X.X.K] 10．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为(　　) A. B. C. D. [答案]　B 二、填空题 11．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________． [答案]　 [解析]　[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以所求概率是. 12．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________． [答案]　0.005 [解析]　大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005. 13．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．[来源:Z*xx*k.Com] [答案]　 [分析]　解答本题从正面考试较繁琐，所以从反面来解答，先计算事件“使点P到三个顶点的距离都大于1”的概率，利用对立事件的概率公式计算． [解析]　边长为2的正三角形ABC内，到顶点A的距离等于或小于1的点的集合为以点A为圆心，1为半径，圆心角为∠A＝60°的扇形内．同理可知到顶点B、C的距离等于或小于1的点的集合．故使点P到三个顶点的距离都大于1的概率为＝1－， 故所求的概率为1－(1－)＝. 14．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图． 在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为______． [答案]　 [解析]　由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝πR3＝，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，[来源:Zxxk.Com] ∴所求概率P＝＝. 三、解答题 15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯． [解析]　在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P＝＝＝； (2)P＝＝＝； (3)P＝＝ ＝＝. 16．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？ [分析]　石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率． [解析]　记事件C＝{钻到油层面}， 在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型． 事件C构成的区域面积是40平方千米， 全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米， 则P(C)＝＝＝0.004. 17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点； ②求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率． 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型． [解析]　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h， 则×S四边形ABCD×h<， 又S四边形ABCD＝1， 则h<，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝＝. 18．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？ (2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？ (3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？ [解析]　(1)设事件A＝“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关， ∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝. (2)设事件B＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝. (3)设事件C＝“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝，由几何概率公式知P(C)＝.