2017年春人教A版数学必修五学业质量标准检测.doc

学业质量标准检测(解三角形、数列部分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则的范围是(　C　) A．(0,2)　　　　　　　 B．(，2) C．(，) D．(，2) [解析]　＝＝＝2cosC，又A＋B＋C＝π，A＝2C， ∴<C<，∴<<. 2．(2016·安徽蚌埠市质检)已知2a＝3b＝m，且a，ab，b成等差数列，则m＝(　C　) A． B． C． D．6 [解析]　∵2a＝3b＝m，∴a＝log2m，b＝log3m. 又∵a，ab，b成等差数列， ∴2ab＝a＋b⇒2＝＋＝logm2＋logm3＝logm6，∴m＝. 3．在△ABC中，若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，则这个三角形是(　D　) A．底角不等于45°的等腰三角形 B．锐角不等于45°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 [解析]　由正弦定理，得asinB＝bsinA， ∴asinBcosB＝csinAcosC， sinAsinBcosB＝sinCsinAcosC． ∴sin2B＝sin2C． ∴B＝C，或2B＝π－2C，即B＋C＝. 4．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和S9等于(　B　) A．66 B．99 C．144 D．297 [解析]　设bi＝ai＋ai＋3＋ai＋6，则由条件知{bn}为等差数列，且b1＝39，b3＝27，∴公差d＝＝－6，∴数列{an}前9项的和a1＋a2＋…＋a9＝b1＋b2＋b3＝3b2＝3(b1＋d)＝3×(39－6)＝99. 5．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为(　C　) A．4 B．5 C．5 D．6 [解析]　∵S△ABC＝acsinB，∴c＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝25， ∴b＝5. 由正弦定理，得2R＝＝5(R为△ABC外接圆的半径)，故选C． 6．(2015·新课标Ⅰ文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　B　) A．　　　　　　　 B． C．10 D．12 [解析]　由题可知：等差数列{an}的公差d＝1，因为等差数列Sn＝a1n＋，且S8＝4S4，代入计算可得a1＝；等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则 a10＝＋(10－1)×1＝. 故本题正确答案为B． 7．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>b>c，a2<b2＋c2，则A的取值范围为(　C　) A．(，π) B．(，) C．(，) D．(0，) [解析]　由题意，得cosA＝>0， ∴A<. 又a>b>c，∴A>B>C． 又∵A＋B＋C＝π，∴A>，故选C． 8．(2015·唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则(　C　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 [解析]　设公比为q，则a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1＋a1＝，∴a1＝2. ∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝ ＝4[1－()n]， ∴＝＝2(2n－1－) ＝2n－1. [点评]　用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下： ∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝， ∴＝＝＝＝2n－1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(　C　) A．an＝2n B．an＝2(n－1) C．an＝2n D．an＝2n－1 [解析]　由程序框图可知a1＝2，a2＝22，a3＝23， ∴an＝2n. 10．已知等比数列{an}中，an>0，a5、a95为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为(　B　) A．32 B．64 C．256 D．±64 [解析]　由条件知a5＋a95＝10，a5·a95＝16， ∵{an}是等比数列，∴a＝16， ∵an>0，∴a50＝4，∴a20a50a80＝a＝64. 11．△ABC中，A︰B＝1︰2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3︰2两部分，则cosA等于(　C　) A． B． C． D．0 [解析]　∵CD为∠ACB的平分线， ∴点D到AC与点D到BC的距离相等， ∴△ACD与△BCD的高相等． ∵A︰B＝1︰2，∴AC>BC． ∵S△ACD︰S△BCD＝3︰2，∴＝. 由正弦定理，得＝，又∵B＝2A， ∴＝，∴＝， ∴cosA＝. 12．若△ABC的三边为a，b，c，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则函数f(x)的图象(　B　) A．与x轴相切 B．在x轴上方 C．在x轴下方 D．与x轴交于两点 [解析]　函数f(x)相应方程的判别式Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2 ＝(2bccosA)2－4b2c2 ＝4b2c2(cos2A－1)． ∵0<A<π，∴cos2A－1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x轴没交点．故选B． 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2015·安徽文，13)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于27. [解析]　∵n≥2时，an＝an－1＋，且a1＝1， ∴{an}是以1为首项，为公差的等差数列． ∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27. 14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为40. [解析]　设另两边长为8x和5x，则 cos60°＝，∴x＝2， ∴另两边长为16和10，此三角形面积S＝×16×10·sin60°＝40. 15．若数列{an}满足a1＝2，an＝1－，则a2016＝－1. [解析]　∵a1＝2，an＝1－，∴a2＝1－＝， a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，a5＝1－＝，…… ∴数列{an}的值呈周期出现，周期为3. ∴a2016＝a3＝－1. 16．(2014·新课标Ⅰ理，16)已知a，b，c分别为 △ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为. [解析]　由a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC及正弦定理可得， (a＋b)(a－b)＝(c－b)·c ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cosA＝＝，∴A＝60°. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，(等号在b＝c时成立)，∴bc≤4. ∴S△ABC＝bcsinA≤×4×＝. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2016·河北邯鄣市一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB＋bcosA＝2ccosC． (1)求C； (2)若△ABC的面积为2，a＋b＝6，求∠ACB的角平分线CD的长度． [解析]　(1)已知acosB＋bcosA＝2ccosC，由正弦定理，得 sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC， 所以sin(A＋B)＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC． 因为0<C<π，所以cosC＝，故C＝. (2)方法一：由已知，得S＝absinC＝ab＝2，所以ab＝8. 又a＋b＝6，解得，或 当时，由余弦定理，得c2＝4＋16－2×2×4×＝12， 所以c＝2. 所以b2＝a2＋c2，△ABC为直角三角形，∠B＝. 因为CD平分∠ACB，所以∠BCD＝. 在Rt△BCD中，CD＝＝. 当时，同理可得CD＝＝. 方法二：在△ABC中，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝. 因为S△ABC＝S△ACD＋S△BCD， 所以S△ABC＝b· CD·sin＋a·CD·sin＝CD·sin·(a＋b)＝(a＋b)·CD． 因为S△ABC＝2，a＋b＝6，即2＝×6·CD，解得CD＝. 18．(本题满分12分)(2016·甘肃省一诊)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若m＝(cos2，1)，n＝(cos2(B＋C)，1)，且m∥n. (1)求角A； (2)当a＝6，且△ABC的面积S满足＝时，求边c的值和△ABC的面积． [解析]　(1)因为m∥n，所以cos2(B＋C)－cos2＝cos2A－cos2＝cos2A－＝0， 即2cos2A－cosA－1＝0，(2cosA＋1)(coaA－1)＝0. 所以cosA＝－或cosA＝1(舍去)，即A＝120°. (2)由＝及余弦定理，得tanC＝，所以C＝30°. 又由正弦定理＝，得c＝2. 所以△ABC的面积S＝acsinB＝3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2log3＋1，求＋＋…＋. [解析]　(1)当n＝1时，a1＝a1－1，∴a1＝2. ∵Sn＝an－1，① Sn－1＝an－1－1(n≥2)，② ∴①－②得an＝(an－1)－(an－1－1)，即an＝3an－1， ∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＝2·3n－1. (2)由(1)得bn＝2log3＋1＝2n－1， ∴＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ [解析]　购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}， 故a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01 ＝121－n(万元)　(1≤n≤20，n∈N*)． 因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a10＝121－10＝111(万元)， a20＝121－20＝101(万元)． 20次分期付款的总和为 S20＝＝＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)． 即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元． 21．(本题满分12分)在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ac，log4sinA＋log4sinC＝－1，S△ABC＝，求三边a，b，c的长及三个内角A，B，C的度数. [解析]　由a2＋c2－b2＝ac，得 cosB＝＝. ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∵S△ABC＝acsinB＝ac×＝， ∴ac＝4.① 由log4sinA＋log4sinC＝－1，得sinAsinC＝. 由正弦定理，得＝， ∴＝， ∴R＝2(负值舍去)． ∴b＝2RsinB＝2×2×＝2. 由已知，得a2＋c2－(2)2＝4.② 当a>c时，由①②，得a＝＋，c＝－. ∴三边的长分别为a＝＋，b＝2，c＝－. 由正弦定理，得 sinA＝＝＝sin105°. ∴A＝105°，即C＝15°. 同理，当a<c时，a＝－，b＝2，c＝＋，A＝15°，B＝60°，C＝105°. 22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3为等差数列{bn}的前三项. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和． [解析]　(1)解法1：∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴an＝λSn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0， 又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1， ∴数列{an}为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a3＝(λ＋1)2， ∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1 ∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2， 解法2：∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1 ∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)， ∴an＝Sn－1＋1(n≥2) ∴an＋1－an＝an，即an＋1＝2an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝2， ∴数列{an}为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴an＝2n－1， bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)anbn＝(3n－2)·2n－1， ∴Tn＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n－2)·2n－1　　① ∴2Tn＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n－5)·2n－1＋(3n－2)·2n　　② ①－②得－Tn＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n－1－(3n－2)·2n ＝1＋3·－(3n－2)·2n 整理得：Tn＝(3n－5)·2n＋5.