2017学年高中数学人教A版选修2-3课堂导学：2.4正态分布 Word版含解析.doc

课堂导学 三点剖析 一、正态分布的性质 【例1】 正态总体N（0，1）的概率密度函数是 f(x)=.x∈R. (1)求证：f(x)是偶函数； （2）求f(x)的最大值； (3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性. 解：（1）对于任意的x∈R， f(-x)===f(x) ∴f(x)是偶函数. (2)令z=,当x=0时，z=0，e z=1,∵e z是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0,e z＞1, ∴当x=0,即z=0时，取得最小值. ∴当x=0时，f(x)=取得最大值. (3)任取x1＜0,x2＜0,且x1＜x2,有x12＞x22,∴＜-,∴＜, ∴ 即f(x1)＜f(x2) 它表明当x＜0时，f(x)是递增的. 同理可得，对于任取的x1＞0,x2＞0,且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2),即当x＞0时，f(x)是递减的. 二、利用正态分布的密度函数求概率 【例2】 设ξ服从N（0，1），求下列各式的值：（1）P（ξ＞2.35);(2)P(ξ＜-1.24);(3)P(|ξ|＜1.54). 分析：因为ξ服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x)=1-Φ(x);P(a＜ξ＜b)=Φ（b)-Φ(a);和P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0)进行转化. 解析：（1）P(ξ＞2.35)=1-P(ξ＜2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.990 6=0.009 4; (2)P(ξ＜-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.892 5=0.107 5; (3)P(|ξ|＜1.54)=P(-1.54＜ξ＜1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.876 4. 温馨提示 对于标准正态分布N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率P（x1＜ξ＜x2)=φ(x2)-φ(x1)的几何意义是：介于直线x=x1和x=x2间，x轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积. 三、正态分布的应用 【例3】 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，16），试计算 (1)若有70分钟时间可用，应走哪条线路？ （2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？ 解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为： P（ξ≤70)=Φ()=Φ(2)=0.977 2. 走第二条线路及时赶到的概率为 P（ξ≤70）=Φ()=Φ(2.5)=0.993 8. 所以，应走第二条线路. （2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为： P(ξ≤65)=Φ()=Φ(1.5)=0.933 2. 走第二条线路及时赶到的概率为 P（ξ≤65）=Φ() =Φ(1.25)=0.894 4. 所以，应走第一条线路. 温馨提示 正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技术的许多领域中，在实际应用中，当给定一个标准的正态分布N（0，1）以后，设P（ξ＜x）=P,结合标准的正态分布表可求两个方面的问题：一是已知x的值求概率P；二是已知概率P的值求x的值.若ξ—N(μ,σ2)，则—N(0,1),从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布. 各个击破 【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 思路分析：对照正态密度函数f(x)=易知B选项正确.此时σ=1，μ=0. 答案：B 【变式提升1】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是 ( ) A.曲线C2仍是正态曲线 B.曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等 C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2 D.以曲线C2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2 思路分析：正态密度函数为f(x)= ,正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点纵坐标为f(μ)=,所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以均值μ增大2个单位. 答案：C 【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高ξ—N(175,62)(单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？ 解析：设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,则根据题意可知：P（ξ＞x)＜1%,由于ξ—N(175,62)，所以P(ξ＞x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ()＜0.01;也就是：Φ()＞0.99,查表可知：＞2.33;解得x＞188.98，即该地公共汽车门至少应设计为189 cm高. 【变式提升2】某镇农民年平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，（1）求此镇农民年平均收入在500元—520元间人数的百分比；（2）如果要使农民的年收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？ 解析：设ξ表示此镇农民的年收入，由已知ξ—N（500，202）. （1）P（500＜ξ＜520) =Φ()-Φ() =Φ（1）-Φ（0）=0.341 3.这说明此镇农民平均收入在500元—520元间的人数约为34%. （2）令P(μ-a＜ξ＜μ+a) =Φ()-Φ(-)≥0.95, 则有Φ()-［1-Φ()］≥0.95,有2Φ()-1≥0.95，所以Φ()≥0.975，由于Φ(x)是增函数，故查表得()≥1.96,所以a＞39.2，因此要使农民的平均收入在（500-a,500+a）内的概率不小于0.95，a不能小于39.2. 【类题演练3】某班有48位同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？ 解析：设x表示这个班的数学成绩，则x服从N（80，102），P（80＜x＜90）=Φ()-Φ()=Φ(1)-Φ(0),查标准正态分布表得 Φ(1)=0.841 3,Φ(0)=0.500 0,故P(80＜x＜90)=0.841 3-0.500 0=0.341 3.所以从理论上讲在80分至90分之间有48×0.341 3=16.382 4≈16(人). 【变式提升3】已知测量误差ξ—N(7.5,100),(单位cm),则必须进行多少次测量才能使至少一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9? 解析：设测量的绝对误差不超过10 cm的概率为p，则 p=P(|ξ|≤10) =Φ()-Φ() =Φ(0.25)-Φ(-1.75) =Φ(0.25)-［1-Φ(1.75)］ =Φ(0.25)+Φ(1.75)-1 =0.598 7+0.959 9-1=0.558 6. 设η表示n次测量中绝对误差不超过10 cm的次数，则η—B(n,p),由P(η≥1)＞0.9得1-P（η=0）＞0.9,即1-0.558 60(1-0.558 6)n＞0.9,(0.441 6)n＜0.1. 解得n＞=2.815;所以至少要进行3次测量.