2018版高中数学（人教A版）必修2同步教师用书： 第3章 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定..doc

3.1.2　两条直线平行与垂直的判定 1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点) 2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点) 3．能利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直．(易错点) [基础·初探] 教材整理1　两条直线平行与斜率的关系 阅读教材P86“练习”以下至P87“例3”以上部分，完成下列问题． 设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 　判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．(　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(　　) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(　　) 【解析】　(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 教材整理2　两条直线垂直与斜率的关系 阅读教材P88“例5”以上部分，完成下列问题． 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行　 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【解析】　设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直． 【答案】　D [小组合作型] 两条直线平行的判定 　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)． 【精彩点拨】　先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行． 【自主解答】　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. 1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合． 2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解． [再练一题] 1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值. 【解】　当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝， kMN＝＝. 因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 两条直线垂直的判定 　(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 【精彩点拨】　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直； (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解． 【自主解答】　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式，得 k1＝＝，k2＝＝. 由l1⊥l2，知k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． 2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式． 3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． [再练一题] 2．(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(－5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直； (2)直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m的值． 【解】　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0， ∴l1⊥l2. (2)①当两直线斜率都存在，即m≠－且m≠1时，有k1＝，k2＝. ∵两直线互相垂直，∴×＝－1.∴m＝－1. ②当m＝1时，k1＝0，k2不存在，此时亦有两直线垂直． 当2m＝－3，m＝－时，k1不存在，k2＝＝＝－，l1与l2不垂直． 综上可知，实数m＝±1. [探究共研型] 直线平行与垂直的综合应用 探究1　已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？ 【提示】　如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°. ∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形． 探究2　已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？ 【提示】　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)． 　已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 【精彩点拨】　画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明． 【自主解答】　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．由斜率公式可得kAB＝＝， kCD＝＝， kAD＝＝－3， kBC＝＝－， kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC， ∴AD与BC不平行． 又∵kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形． 1．利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． 2．由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． [再练一题] 3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标． 【解】　设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，所以kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC， 所以 解得 即D(10，－6). 1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　) A．－3 B．3 C．－ D. 【解析】　因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3. 【答案】　B 2．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为 (　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不正确 【解析】　过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直． 【答案】　A 3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为________． 【解析】　由题意得m2＋－4＝tan 60°，解得m＝±2. 【答案】　±2 4．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝______，y＝________. 【解析】　∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7. 【答案】　－1　7 5．已知四点A(2,2＋2)，B(－2,2)，C(0,2－2)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状．(说明理由) 【解】　∵kAB＝＝， kBC＝＝－， kAD＝＝－， kCD＝＝， ∴kAB＝kCD，kBC＝kAD. ∴AB∥CD且BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵kAB·kBC＝－1， ∴AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形．