2018版高中数学（人教A版）必修2同步教师用书： 第2章 2.1.1 平面.doc

2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1　平面 1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1　平面 阅读教材P40～P41“思考”以上的内容，完成下列问题． 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图2­1­1①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图2­1­1②. 图①　　　　　　　图② 图2­1­1 3．平面的表示法 图2­1­1①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 下列说法： ①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念． 其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念． 【答案】　B 教材整理2　平面的基本性质 阅读教材P41“思考”以下至P43“例1”以上的内容，完成下列问题． 公理 内容 图形 符号 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在惟一的α使A，B，C∈α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三点可以确定一个平面．(　　) (2)一条直线和一个点可以确定一个平面．(　　) (3)四边形是平面图形．(　　) (4)两条相交直线可以确定一个平面．(　　) 【解析】　(1)错误．不共线的三点可以确定一个平面． (2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． (3)错误．四边形不一定是平面图形． (4)正确．两条相交直线可以确定一个平面． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [小组合作型] 文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)A∈α，B∉α； (2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l； (3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 【精彩点拨】　解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形． 【自主解答】　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1)，(2)，(3)所示． 图(1)　　　　图(2)　　　　图(3) 1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． 2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示． 3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [再练一题] 1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． 图2­1­2 (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. 【解】　(1)点P∈直线AB； (2)点C∉直线AB； (3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC； (5)直线AB∩直线BC＝点B； (6)直线AB⊂平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB. 点、线共面问题 　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内． 【精彩点拨】　四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况． 【自主解答】　已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面． 证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d， ∴经过d与点O有且只有一个平面α. ∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点， ∴A、B、C三点在平面α内． 由公理1知a、b、c都在平面α内， 故a、b、c、d共面． (2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示， ∵a∩b＝A， ∴经过a、b有且仅有一个平面α， ∴B、C∈α.由公理1知c⊂α. 同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面． 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内． 证明点线共面常用的方法 1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内． 2．重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合． [再练一题] 2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面． 【证明】　如图所示，由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面． [探究共研型] 点共线与线共点问题 探究1　如图2­1­3，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？ 图2­1­3 【提示】　如图，连接BD1， ∵A1C∩平面ABC1D1＝E， ∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1. ∵A1C⊂平面A1BCD1， ∴E∈平面A1BCD1. 探究2　上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？ 【提示】　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线． 　如图2­1­4，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 【导学号：97602006】 图2­1­4 【精彩点拨】　欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可． 【自主解答】　∵MN∩EF＝Q， ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又∵M∈直线CD，N∈直线AB， CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD. ∴M、N∈平面ABCD， ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1， 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线． 点共线与线共点的证明思路 1．点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上． 2．线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上． [再练一题]3．如图2­1­5，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线. 【导学号：09960044】 图2­1­5 【证明】　∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β， 又∵AB∩α＝E，AB⊂β， ∴E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点， ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线． 1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　) A．A∈l，l∉α　 B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α 【解析】　点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”表示． 【答案】　B 2．下列说法中正确的个数为(　　) ①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　③中若圆心和圆上两点共线时，可以作出无数个平面，故①②④正确，故选C. 【答案】　C 3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 【解析】　∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 【答案】　C 4．有以下三个说法： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交． 其中正确的序号是________． 【解析】　若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确． 【答案】　①③ 5．如图2­1­6，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)． 图2­1­6 【证明】　∵梯形ABCD，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两腰， ∴AB，CD必定相交于一点． 如图，设AB∩CD＝M. 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且M∈β， ∴M∈α∩β， 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， 即AB，CD，l共点．