2018版高中数学（人教A版）必修1同步教师用书：第2章 2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质.doc

2.2.2　对数函数及其性质 第1课时　对数函数的图象及性质 1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点) 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点) [基础·初探] 教材整理1　对数函数的概念 阅读教材P70前两个自然段，完成下列问题． 对数函数：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝logx是对数函数．(　　) (2)函数y＝2log3x是对数函数．(　　) (3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．(　　) 【解析】　(1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错； (2)×.在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错； (3)×.由x＋1>0得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 教材整理2　对数函数的图象和性质 阅读教材P70第三自然段至P71“例7”以上部分，完成下列问题． 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 1．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________． 【解析】　由题意可得0<3a－1<1，解得<a<，所以实数a的取值范围是. 【答案】　 2．函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点________． 【解析】　当x＝2时，y＝1，故恒过定点(2,1)． 【答案】　(2,1) 教材整理3　反函数 阅读教材P73至“练习”以上的部分，完成下列问题． 反函数：对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 　函数f(x)＝x的反函数为g(x)，则g(x)＝________. 【解析】　f(x)＝x的反函数为g(x)＝logx. 【答案】　logx [小组合作型] 对数函数的概念 　 (1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 (2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________. 【精彩点拨】　(1)根据对数函数的定义逐一进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，进而求f(8)的值． 【自主解答】　(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义． (2)由题意设f(x)＝logax，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，即f(x)＝logx， 所以f(8)＝log8＝－3. 【答案】　(1)B　(2)－3 1．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)底数a>0，且a≠1； (2)自变量x在真数的位置上，且x>0； (3)在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，真数必须是x. 2．对数函数的解析式中只有一个参数a，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出． [再练一题] 1．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________. 【导学号：97030103】 【解析】　由题意可知解得a＝4. 【答案】　4 对数函数的定义域 　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(0,2) C．(－∞，2) D. (2)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为____________________________． (3)函数f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为___________________________. 【精彩点拨】　(1)(2)不仅要符合对数的定义，而且还要保证二次根式开方有意义，分母不为0等条件的限制． (3)结合对数函数的定义2x－1>0且2x－1≠1，－4x＋8>0，求解． 【自主解答】　(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx＞－1，解得0＜x＜2，即函数f(x)的定义域为(0,2)，故选B. (2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)． (3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为. 【答案】　(1)B　(2)(－1,2) (3) 求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为： (1)要保证根式有意义； (2)要保证分母不为0； (3)要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. [再练一题] 2．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为(　　) 【导学号：97030104】 A．[－1,3) B．(－1,3) C．(－1,3] D．[－1,3] 【解析】　根据题意，得解得－1＜x≤3， ∴f(x)的定义域为(－1,3]．故选C. 【答案】　C 3．函数y＝的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C. D. 【解析】　要使函数y＝有意义，有解得x≥1， 所以函数f(x)的定义域是[1，＋∞)．故选A. 【答案】　A [探究共研型] 对数函数的图象及性质 探究1　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？ 【提示】　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(x)＝2，所以函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,2)． 探究2　如图2­2­1，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？ 【提示】　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0. 　(1)已知a＞0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) (2)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 【精彩点拨】　(1)根据函数y＝ax与y＝logax互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，从而对选项进行判断即得． (2)作y＝log2x的图象，再作y＝log2(x＋1)的图象，然后对其进行适当变换，即可得到所求函数的图象． 【自主解答】　(1)∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称． 再由函数y＝ax的图象过(0,1)，y＝logax的图象过(1,0)，排除选项A，B，从C，D选项看，y＝logax递减，即0＜a＜1，故C正确． 【答案】　C (2)第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示． (1)　　　　　　　　(2)　 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示． 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示． 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示． (3)　　　　　　　　　(4)　　　 函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的． (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称． [再练一题] 4．函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 【导学号：97030105】 【解析】　∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，y＝a－x＝x是减函数，故排除B；当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C. 【答案】　C 1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝(　　)　　　 　　　　　　 　　　　　 A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－1<x<1} D．∅ 【解析】　由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－1<x<1}． 【答案】　C 2．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________. 【解析】　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 则f(2)＝loga2＝2，即a＝， 所以f(x)＝logx. 【答案】　logx 3．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a＞0且a≠1)必过定点________． 【解析】　令2x＋1＝1，得x＝0，此时f(x)＝2，故函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a＞0且a≠1)必过定点(0,2)． 【答案】　(0,2) 4．已知函数y＝f(x)与g(x)＝log3x(x＞0)互为反函数，则f(－2)＝________. 【导学号：97030106】 【解析】　∵函数y＝f(x)与g(x)＝log3x(x＞0)互为反函数，∴f(x)＝3x，则f(－2)＝3－2＝. 【答案】　 5．已知f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值． 【解】　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示： (2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2. 由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)． 故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．