2017版（人教版）高中数学选修1-1（检测）：3.1 变化率与导数 课时提升作业（十八） 3.1.1&3.1.2 Word版含解析.doc

课时提升作业(十八) 变化率问题　导数的概念 (15分钟　30分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.物体自由落体运动方程为s(t)=gt2,若=g=9.8m/s,那么下面说法正确的是　(　　) A.9.8m/s是0～1s这段时间内的平均速度 B.9.8m/s是从1s到(1+Δt)s这段时间内的速度 C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的速度 D.9.8m/s是物体从1s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度 【解析】选C.=g=9.8m/s,表示物体自由落体在t=1s时的即时速度.故选C. 2.某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间[1,1+d]上的平均速度 为　(　　) A.2d+4 B.-2d+4 C.2d-4 D.-2d-4 【解析】选D.平均速度为==-4-2d.故选D. 【补偿训练】(2015·郑州高二检测)已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=处的瞬时变化率是　(　　) A.3 B.-3 C.2 D.-2 【解题指南】表示出x=处的平均变化率后取极限得到瞬时变化率. 【解析】选B.因为= =-Δx-3, 所以=-3. 3.一物体的运动方程是s=at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度 是　(　　) A.at0 B.-at0 C.at0 D.2at0 【解析】选A.因为==aΔt+at0, 所以=at0. 二、填空题(每小题4分,共8分) 4.(2015·蚌埠高二检测)已知函数f(x)=ax+b在区间[1,8]上的平均变化率为3,则实数a=　　　　. 【解析】平均变化率===a=3. 答案:3 5.物体沿直线运动过程中,位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t.我们计算在t时刻的附近区间[t,t+Δt]内的平均速度==　　　　　,当Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到t时刻的瞬时速度为　　　　　. 【解析】因为物体沿直线运动过程中,位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t,所以在t时刻的附近区间[t,t+Δt]内的平均速度===6t+1+3Δt. 所以s′(t)=6t+1. 答案:6t+1+3Δt　6t+1 三、解答题 6.(10分)(2015·安阳高二检测)已知函数y=f(x)=3x2+2,求函数在x0=1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1,k2,k3,并比较其大小. 【解题指南】分别求出平均变化率后比较大小. 【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 = ==6x0+3Δx. 函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为6x0+3Δx. 当x0=1,Δx=时,函数在[1,1.5]的平均变化率k1=6×1+3×0.5=7.5; 当x0=2,Δx=时,函数在[2,2.5]上的平均变化率k2=6×2+3×0.5=13.5; 当x0=3,Δx=时,函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3=6×3+3×0.5=19.5;所以k1<k2<k3. 【补偿训练】已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=f(t)=gt2,计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段时间内的平均速度(g=9.8m/s2). 【解题指南】先求出Δs,再求出=,即为各段时间内的平均速度. 【解析】设Δt=(t+d)-t指时间改变量,Δs=f(t+d)-f(t)指位移改变量. 则Δs=f(t+d)-f(t)=g(t+d)2-gt2=gtd+gd2, ===gt+gd, 所以t从3秒到3.1秒的平均速度=29.89(m/s); t从3秒到3.001秒的平均速度=29.4049(m/s); t从3秒到3.0001秒的平均速度=29.40049(m/s). (15分钟　30分) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2015·太原高二检测)物体的运动方程是S=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为　(　　) A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4 【解析】选B.=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2. 2.设f(x)在x=x0处可导,则等于　(　　) A.-f′(x0) B.f′(-x0) C.f′(x0) D.2f′(x0) 【解析】选A. =- =- =-f′(x0). 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.如图所示,水波的半径以1m/s的速度向外扩张,当半径为5m时,这水波面的圆面积的膨胀率是　　　m2/s. 【解题指南】求出在时刻t的水波面积,进而求出在时刻t0的瞬时膨胀率,代入半径求要求的膨胀率. 【解析】因为水波的半径以v=1m/s的速度向外扩张, 水波面积S=πr2=π(vt)2=πt2, 所以水波面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′(t0)=2πt. 当半径为5m时,t=5s,所以S′(5)=2π·5=10π, 即半径为5m时,这水波面积的膨胀率是10π, 答案:10π 4.已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=　　　　时刻的速度为7. 【解析】=(6Δt+12t-5) =12t-5=7,t=1. 答案:1 三、解答题 5.(10分)(2015·徐州高二检测)若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s) s= 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度. (2)物体的初速度v0. (3)物体在t=1时的瞬时速度. 【解析】(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt=5-3=2, 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, 所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为 ==24(m/s). (2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度. 因为物体在t=0附近的平均变化率为 = = =3Δt-18. 所以物体在t=0处的瞬时变化率为 =(3Δt-18)=-18. 即物体的初速度为-18m/s. (3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率. 因为物体在t=1附近的平均变化率为 = ==3Δt-12. 所以物体在t=1处的瞬时变化率为 =(3Δt-12)=-12. 即物体在t=1时的速度为-12m/s.