2017版（人教版）高中数学选修1-1（检测）：1.2.2 充要条件.doc

课时提升作业(五) 　充要条件的应用 (25分钟　60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件. 2.(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的　(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件　 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况. 3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的　(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性. 【解析】选D.当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立. 4.(2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则　(　　) A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件. 5.(2015·烟台高二检测)已知a,b∈R,ab≠0,则“a>0,b>0”是“≥” 的　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.当a>0,b>0时由基本不等式可得≥. 当且仅当a=b时取等号. 反之,当≥时,由有意义结合a,b≠0,可得a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,而当a<0,b<0时<0与≥矛盾. 故必有a>0,b>0成立, 故“a>0,b>0”是“≥”的充要条件. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2015·郑州高二检测)等差数列{an}的首项为a,公差为d,其前n项和为Sn,则数列{Sn}为递增数列的充要条件是　　　　　. 【解题指南】若{Sn}为递增数列,则Sn+1>Sn(n∈N*),据此转化求解. 【解析】由Sn+1>Sn(n∈N*)⇔(n+1)a+d>na+d(n∈N*)⇔dn+a>0(n∈N*)⇔d≥0且d+a>0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a>0. 答案:d≥0且d+a>0 7.(2015·三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是　　　　　. 【解析】直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切⇔圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于 ⇔=⇔|m+2|=2⇔m=-4或0. 答案:m=-4或0 【补偿训练】“x2-2x>0”的充要条件是　　　　　. 【解析】x2-2x>0⇔x·(x-2)>0⇔x>2或x<0. 答案:x>2或x<0 8.下列命题: ①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件; ②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的充要条件; ③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件; ④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件. 其中真命题的序号为　　　　　. 【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件; ②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0.故②为假命题; ③当a=2时,两直线平行,反之,两直线平行,=,所以a=2, 因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件; ④lgx+lgy=lg(xy)=0, 所以xy=1且x>0,y>0. 所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然. 因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件. 综上可知,真命题是④. 答案:④ 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.求方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件. 【解析】方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根等价于解得0<k<, 所以方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件0<k<. 10.(2015·南京师大附中高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1. 【证明】充分性:当q=-1时,a1=S1=p-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立. 于是==p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列. 必要性:当n=1时,a1=S1=p+q; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,==p,可知等比数列{an}的公比为p. 故==p,即p-1=p+q,解得q=-1. 综上可知,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件. 【误区警示】本题易弄错充分性与必要性而导致错误. (20分钟　40分) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2014·福建高考)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的　(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【解题指南】小集合推出大集合. 【解析】选A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上, S△OAB=·sin∠AOB=sin∠AOB, 因此∠AOB必为直角,所以S△OAB=的等价条件是k=±1. 2.(2015·西安高二检测)函数f(x)=a+sinx+cosx有零点的充要条件 为　(　　) A.a≤2 B.a≥-2 C.-2<a<2 D.-2≤a≤2 【解析】选D.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点⇔方程a+sinx+cosx=0有实数根⇔方程-a=sinx+cosx有实数根,由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°), 所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2. 【延伸探究】本题改为函数没有零点的充要条件为　　　　　. 【解析】函数f(x)=a+sinx+cosx有零点⇔方程a+sinx+cosx=0有实数根⇔方程-a=sinx+cosx有实数根. 由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°), 所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2. 所以函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点的充要条件为a<-2或a>2. 答案:a<-2或a>2 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2015·佛山高二检测)数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件为　　　　　. 【解析】依题意,an+1-an=d,且=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qan-an=d,所以an(q-1)=d对一切正整数n都成立,故d=0,q=1,数列{an}为常数列. 由于an=0不是等比数列,所以数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{an}是非零常数列. 答案:数列{an}为非零常数列 4.(2015·广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是　　　　　　. 【解析】由题意知函数f(x)=|log2x| = 要使f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数, 则0≤m-2<1<2m,所以2≤m<3. 答案:[2,3) 三、解答题(每小题10分,共20分) 5.(2015·汕头高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件. 【解析】当{an}是等差数列时, 因为Sn=(n+1)2+c, 所以当n≥2时,Sn-1=n2+c, 所以an=Sn-Sn-1=2n+1, 所以an+1-an=2为常数. 又a1=S1=4+c, 所以a2-a1=5-(4+c)=1-c, 因为{an}是等差数列, 所以a2-a1=2,所以1-c=2. 所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n, 可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)为等差数列, 所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1. 6.(2015·烟台高二检测)设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,证明:“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件. 【解题指南】从充分性与必要性两个方面证明. 【证明】充分性:由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA==. 即sinB+2sinBcosA=sin(A+B). 化简,得sinB=sin(A-B). 由于sinB>0且在三角形中, 故B=A-B, 即A=2B. 必要性:若A=2B, 则A-B=B,sin(A-B)=sinB, 又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB. 所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA). 因为A,B,C为△ABC的内角, 所以sin(A+B)=sinC, 即sinC=sinB(1+2cosA). 所以=1+2cosA=1+=,即=. 化简得a2=b(b+c). 所以“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件. 【补偿训练】已知{an}为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为Sn.求证:a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件是k=6. 【证明】设数列{an}的公差为d,由题意得解得所以an=2+2(n-1)=2n, 由此得Sn===n(1+n). 充分性:当k=6时,a1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=8×9=72, 因为===,所以a1,a6,S6+2成等比数列,即a1,ak,Sk+2成等比数列. 必要性:由a1,ak,Sk+2成等比数列,得=a1Sk+2,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=-1(舍去)或k=6. 综上可知,k=6是a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件.