2017年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析.doc

四　柱坐标系与球坐标系简介 1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法． 2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系． 1．柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作________，其中________________________． (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为__________ 【做一做1－1】 设点P的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________． 【做一做1－2】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________． 2．球坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作__________，其中______________________． (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为______________ 在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，－φ称为高低角． 【做一做2】 已知点M的球坐标为(4，，)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______． 答案：1．(1)(ρ，θ，z)　P(ρ，θ，z)　ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞ (2) 【做一做1－1】 　(，，3) 【做一做1－2】 　以Oz轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面 2．(1)(r，φ，θ)　P(r，φ，θ)　r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π (2) 【做一做2】 　(－2,2,2)　(2，，2) 1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的． 在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ. 空间直角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)． 坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系． 如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的点，y＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0等． 几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同． 2．建立空间坐标系的方法 剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等． 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题． 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题． 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系． 题型一 直角坐标与柱坐标的互化 【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． 分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可． 反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2求ρ，利用tan θ＝求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． 题型二 直角坐标与球坐标的互化 【例2】 已知点M的球坐标为(2，，)，求它的直角坐标． 分析：利用变换公式求解，其中r＝，cos φ＝，tan θ＝. 反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cosφ＝来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M所在的位置． 题型三 求空间一点的坐标 【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来． 反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度． 题型四 柱坐标系、球坐标系的应用 【例4】 已知点P1的球坐标是P1(2，，)，P2的柱坐标是P2(，，1)，求|P1P2|. 分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离． 反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决． 题型五 易错辨析 【例5】 设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标． 错解：点M的球坐标为(，，)． 答案：【例1】 　解：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)， 则有解之得ρ＝，θ＝. 因此，点M的柱坐标为(，，1)． 【例2】 　解：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则有 ∴点M的直角坐标为(－1,1，－)． 【例3】 　解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置． ∴点A的柱坐标为(203，，2.8)． 【例4】 　解：设P1的直角坐标为P1(x1，y1，z1)， 则 ∴P1的直角坐标为(，，)． 设P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)， 则 ∴P2的直角坐标为(，，1)． ∴|P1P2|＝ ＝. 【例5】 　错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式 正解：∵r＝＝＝2， z＝rcos φ＝， ∴cos φ＝.∴φ＝. 又∵tan θ＝＝1，∴θ＝. ∴点M的球坐标为(2，，)． 1在空间直角坐标系Oxyz中，方程x＝1表示(　　)． A．点 B．直线 C．平面 D．以上都不对 2在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示(　　)． A．圆 B．半圆 C．球面 D．半球面 3点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为(　　)． A． B． C． D． 4空间点P的柱坐标为(6，，4)，则点P关于z轴的对称点为________． 5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π) 6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2，)；(2)(2，)． 答案：1．C　由空间点的直角坐标的定义知，方程x＝1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面． 2．D　由空间点的球坐标的定义可知，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示半球面． 3．A　设M的球坐标为(r，φ，θ)， 则解得 4．(6，，4) 5．解：设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝(2,0，－2)， ∴ ∴(2,0，－2)为所求点的直角坐标． (2)∵(ρ，θ，z)＝(π，π，π)， ∴∴(－π，0，π)为所求点的直角坐标． 6．解：设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(r，φ，θ)＝(2，)， ∴ ∴为所求点的直角坐标． (2)∵(r，φ，θ)＝(2，)， ∴ ∴(1，－1，)为所求点的直角坐标．