2017年高中数学人教A版选修4-1学案：互动课堂 第二讲三　圆的切线的性质及判定定 Word版含解析.doc

互动课堂 重难突破 　　一、圆的切线的性质定理及推论 1.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点,否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点;反过来,过切点垂直于切线的直线一定经过圆心,因此可以得到两个推论: 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心.于是在利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线. 3.另外,圆的切线还有两条性质应当注意,一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中,我们也利用它们来解决. 二、切线的判定定理 1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论,强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件,所以都不是圆的切线. 图2-3-1 2.用判定定理证明一直线与圆相切时,必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证这直线与这半径垂直;否则需先向这直线作垂线,再证这垂线段是圆的半径. 三、刨根问底 问题1 判断一条直线是否是圆的切线,通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？ 探究:判定切线通常有三种方法: （1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线; （2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线; （3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. “过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化,在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法,如果涉及到数值计算或距离问题,通常利用（2）,如果涉及到线段的位置关系等,通常选取（3）. 问题2 已知下列5个命题: (1)过半径外端的直线是圆的切线; (2)垂直于半径的直线是圆的切线; (3)经过半径外端和这条直线垂直的直线是圆的切线; (4)过直径端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线;  (5)和圆有一个交点的直线是圆的切线. 其中正确的命题序号是 . 探究:首先判断这些命题的条件与切线判定定理或定义是否一致.(3)(4)正确. 活学巧用 【例1】 如图2-3-2所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,且AD+BC=AB,AB为⊙O的直径,求证:⊙O与CD相切. 图2-3-2 思路解析:欲证⊙O与CD相切只需证明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径即可. 证明:过O点作OE⊥CD,垂足为E, ∴AD∥OE∥BC. ∵O为AB的中点,∴E为CD的中点. ∴OE = (AD +BC).又∵AD +BC =AB, ∴OE = AB =⊙O的半径.∴⊙O与CD相切. 【例2】如图2-3-3所示,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD =3 cm,BE =7 cm. 图2-3-3 （1）求⊙O的半径; （2）求线段DE的长. 思路解析:（1）连结OC,证点C为DE的中点.在解有关圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF,证四边形ADEF为矩形,从而得到AD =EF,DE =AF,然后在Rt△ABF中运用勾股定理,求AF的长. 解:（1）连结OC.∵MN切半圆于点C,∴OC⊥MN. ∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE. ∵OA =OB,∴CD=CE.∴OC =（AD＋BE）=5 cm. ∴⊙O的半径为5 cm. （2）连结AF.∵AB为半圆O的直径, ∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°. 又∠ADE=∠DEF =90°,∴四边形ADEF为矩形. ∴DE =AF,AD =EF =3 cm. 在Rt△ABF中,BF =BE－EF=4 cm,AB =2OC=10 cm. 由勾股定理,得 ==, ∴. 【例3】如图2-3-4所示,AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线,B、D为切点, 图2-3-4 （1）求证:AD∥OC; （2）若⊙O的半径为1,求AD·OC的值. 思路解析:对于（1）,连结OD、BD,证AD⊥BD,OC⊥BD;对于（2）,连结BD,证△ABD∽△OCB即可. （1）证明:连结OD、BD.∵BC、CD是⊙O的切线, ∴OB⊥BC,OD⊥CD. ∴∠OBC=∠ODC＝90°. 又∵OB=OD,OC=OC, ∴Rt△OBC ≌ Rt△ODC. ∴BC=CD.∵OB =OD,∴OC⊥BD. 又∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB =90°, 即AD⊥BD.∴AD∥OC. （2）解:∵AD∥OC,∴∠A =∠BOC. 又∠ADB =∠OBC=90°,∴△ABD ∽△OCB. ∴=. ∴AD·OC =AB·OB =2×1=2. 【例4】如图2-3-5,已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C、D,大圆的弦EF切小圆于C,ED交小圆于G,若小圆的半径为2,,试求EG的长. 图2-3-5 思路解析:由EF和小圆切于点C,易知EF⊥CD.因为CD为小圆的直径,联想“直径上的圆周角为90°”,考虑连结GC,则GC⊥ED.由已知条件容易求出CD、EC的长.在Rt△ECD中利用勾股定理和射影定理不难求出EG的长. 解:连结GC,则GC⊥ED. ∵EF和小圆切于C, ∴EF⊥CD,EC= EF =23. 又∵CD =4,∴在Rt△ECD中,有 ==. ∵EC2=EG·ED, ∴ = =.