2017年春高中数学人教A版选修2-2习题-单元测评（三） Word版含答案.doc

单元测评(三)　推理与证明(A卷) (时间：90分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．下面几种推理是合情推理的是(　　) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sinx，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sinx是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°. A．①②　　　　　　　 B．①③④ C．①②④ D．②④ 解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理． 答案：C 2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析：大前提错误，小前提正确． 答案：C 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设(　　) A．三角形的三个内角都不大于60° B．三角形的三个内角都大于60° C．三角形的三个内角至多有一个大于60° D．三角形的三个内角至少有两个大于60° 解析：其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”． 答案：B 4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立； (2)假设n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．则以下说法正确的是(　　) A．命题、推理都正确 B．命题正确、推理不正确 C．命题不正确、推理正确 D．命题、推理都不正确 解析：命题正确，但证明n＝k＋1时没有用到归纳假设，推理不正确． 答案：B 5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 解析：设an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 答案：C 6．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面(　　) A．各正三角形内任一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心． 答案：C 7．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　　) A．(0,6] B．[6，＋∞) C．[1＋，＋∞) D．(0,1＋] 解析：x＋y＋3＝xy≤2⇒(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立． 答案：B 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A. B. C. D. 解析：∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1， ∴S2＝4·a2＝a1＋a2⇒a2＝＝. S3＝9a3＝a1＋a2＋a3⇒a3＝＝＝. S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4⇒a4＝＝. ∴猜想an＝. 答案：B 9．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 解析：∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点， ∴4－4m>0，∴m<1， 由f(1－x)≥－1得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1， 即x2＋m≥0，∴m≥－x2， ∵－x2的最大值为0，∴0≤m<1. 答案：B 10．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　) A．n2 B．nn C．2n D．22n－2 解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn. 答案：B 第Ⅱ卷(非选择题，共70分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为__________． 答案：在三棱锥A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋) 12．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点． 解析：设第n个图形中有an个顶点， 则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…， an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n. 答案：n2＋n 13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”． 答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1) 14．若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝，则a＋(b*c)用含有运算符号“*”和“＋”表示的另一种形式是________． 解析：a＋(b*c)＝a＋＝＝＝(a＋b)*(a＋c)． 答案：(a＋b)*(a＋c) 三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于. 证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<， 于是有－<1＋a＋b<，　① －<4＋2a＋b<，　② －<9＋3a＋b<，　③6分 ①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1， 所以－3<8＋4a＋2b<－1， 所以－<4＋2a＋b<－.8分 这与②－<4＋2a＋b<矛盾， 所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.12分 16．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； (2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； (3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.4分 (2)方法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝.6分 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝.12分 方法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝.6分 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°·sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α) ＝1－cos2α－＋cos2α＝.12分 17．(12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD. 证明：(1)连接AC，设AC∩BD＝O，连接EO， ∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点， ∴OE为△PAC的中位线， ∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB. 4分 (2)∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC， ∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD＝D， ∴BC⊥平面PDC. ∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.8分 又∵PD⊥平面AC，DC⊂平面AC， ∴PD⊥DC，而PD＝DC， ∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC 又BC∩PC＝C， ∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB. 又EF⊥PB，DE∩EF＝E， ∴PB⊥平面DEF.12分 18．(14分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S1＝a1＝，得a＝1， ∵an>0，∴a1＝1. S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0， ∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝. 得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.4分 (2)猜想an＝－(n∈N*)． 证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立；6分 ②假设n＝k时，ak＝－成立， 则n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，即 ak＋1＝－ ＝－. ∴a＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－. 即n＝k＋1时，命题成立.12分 由①②知，an＝－对任意n∈N*都成立.14分