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2017学年高中数学人教A版选修2-3课堂导学:1.2.4组合二
Word版含解析
2017
年高
学人
选修
课堂
1.2
组合
Word
解析
课堂导学
三点剖析
一、求解组合问题的等价转化方法
【例1】 有10级台阶,一个人每步上一级、两级或三级,共7步上完,则不同的走法共有多少种?
解析:要首先确定每步一上级、两级或三级的步数,这可将问题等价转化为方程的解的问题.设每步上一级的步数为x,每步上两级的步数为y,每步上三级的步数为z,则
(x、y、z∈N).
易知0≤z≤1,可解得
或
当x=4,y=3,z=0时,它等价于将4个相同的黑球、3个相同的白球排成一列,共有=35种排法,则有35种走法.
当x=5,y=1,z=1时,同理可知有=42种走法.
由分类计数原理,共有35+42=77种走法.
二、注意排列组合应用题中的形同实异问题
【例2】(1)把6本不同的书平均分放在三只抽屉里,有多少种不同的放法?
(2)把6本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里,有多少种不同的放法?
解析:(1)和(2)的主要区别在于对三只抽屉有没有编号,(1)中对三只抽屉没有编号,所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而(2)中对三只抽屉已经编了号.
问题1有··/=15种放法;
问题2有··=90种放法.
温馨提示
在排列组合应用题中,有不少问题形同实异,在学习中容易发生混淆.对这样的题目,如果能经常注意对照、类比、辨析,对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的.
三、立体几何中的组合问题的解法
【例3】(2005全国高考卷Ⅲ,11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共面( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
解析:事实上,平面α可以分为两类:一类是在平面α的两侧各有两个点;另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥(如图),设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点,过E、F、G三点的平面α满足题意,这样的平面有四个;又过E、F、H、M的平面α也满足题意,这样的平面有三个.
故适合题设的平面α共有七个,应选D.
温馨提示
在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题,这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强,能力要求高,解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素,并与排列组合形成对应关系,转化为排列组合问题,同时要注意避免重复和遗漏.本例中,根据立体图形的几何特点,选取恰当的分类标准,从而使问题得以解决.
各个击破
【类题演练1】8个不加区别的小球放入四个不同的盒子中,每个盒子至少放一个,共有多少种放法?
解析:将8个球摆成一列,设法分成四部分,则每种分法对应一种放法.要想分成四部分,只需用3个隔板将它们隔开.8个球共有7个空隙,选其中3个空隙插隔板,共有=35种分法,故共有35种放法.
【变式提升1】圆周上有n(n≥4)个点,每两个点连一条弦,这些弦在圆内最多有多少个交点?
解析:如图所示,P是圆上四点A、B、C、D所引的弦在圆内的惟一交点,即圆内接四边形ABCD对角线的交点,易知,当没有三弦交于圆内一点(端点除外)时,弦在圆内的交点个数最多,且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射,所以这些弦在圆内最多有个交点.
【类题演练2】(1)把7个不同的玻璃球放在两个布袋中,有多少种不同的放法?
(2)把7个玻璃球放在甲、乙两个布袋中,有多少种不同的放法?
(必须两个布袋里都有玻璃球)
解析:(1)共有++=63(种);
(2)共有2(++)=126(种).
【变式提升2】十件奖品全部赠给九位先进工作者,每人至少得一件.如果十件奖品都相同,有多少种不同的赠送方法?
解析:如果10件奖品都相同,那么得奖方法只有得2件与1件的区别,赠2件的方法有9种,也就是赠送的方法一共有种,即9种.
【类题演练3】(2005江苏高考,12)四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的,没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的,现在编号①②③④的四个仓库存放这8种化工产品,则安全存放的不同方法总数为( )
A.96 B.48 C.24 D.0
解析:如图分别用1—8标号的棱表示8种不同的化工产品,易知可以两两放入同一仓库的情况如下:(实质就是异面直线配对)
故8种产品安全存放有“(1,5)、(2,6)、(3,7)、(4,8)”和“(1,8)、(2,5)、(3,6)、(4,7)”两种可能,故所求的方法种数为=48(种),故选B.
【变式提升3】 在四棱锥P—ABCD中,顶点为P,从其他的顶点和各棱的中点中任取3个,使它们和点P在同一平面上,不同的取法有_______________种.( )
A.40 B.48 C.56 D.62
解析:如图满足题设的取法可分为三类:
①在四棱锥的每个侧面上除P点外任取3点,有4×=40种取法;
②在两个对角面上除点P外任取3点,共有2×=8种不同取法;
③过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面,共有4×=8种不
同的取法.
故不同的取法共有40+8+8=56种.
答案:C