2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第二讲2.1圆周角定理 Word版含解析.doc

第二讲 直线与圆的位置关系 2.1 圆周角定理 A级　基础巩固 一、选择题 1．下列命题中是真命题的是(　　) A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．60°的圆周角所对的弧的度数是30° C．一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 D．120°的弧所对的圆周角是60° 答案：D 2．如图所示，在⊙O中，∠BAC＝60°，则∠BDC＝(　　) A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．75° 解析：⊙O中，∠BAC与∠BDC都是所对的圆周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°. 答案：C 3.如图所示，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C等于(　　) A．90°　　　　　　 B．120° C．180° D．60° 解析：∠A＋∠B＋∠C＝(的度数＋的度数＋的度数)＝×180°＝90°. 答案：A 4.如图所示，圆中弦AC，BD相交于E，其中相等的角的对数是(　　) A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 解析：∠BAC＝∠BDC，∠CBD＝∠CAD，∠DBA＝∠DCA，∠ACB＝∠ADB，∠AEB＝∠CED，∠AED＝∠BEC. 答案：A 5.如图所示，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝(　　) A．35° B．55° C．70° D．110° 解析：因为AB为⊙O的直径， 所以∠ACB＝90°； 所以∠B＝90°－∠BAC＝55°； 由圆周角定理知，∠ADC＝∠B＝55°. 答案：B 二、填空题 6．如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________． 解析：如图，连接AO，OB. 因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π. 答案：16π 7．如图所示，A，B，C是⊙O的圆周上三点，若∠BOC＝3∠BOA，则∠CAB是∠ACB的________倍． 解析：因为∠BOC＝3∠BOA，所以＝3.所以∠CAB＝3∠ACB. 答案：3 8．如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________． 解析：连接AE，OA，OE，由题意可知 ∠AOB＝， AD⊥BO， 所以OD＝2×cos＝1. 所以AD＝＝，BD＝1. 又△AOE为正三角形，所以AE＝2. 又△AFE∽△DFB，所以＝＝， 所以AF＝AD＝. 答案： 三、解答题 9.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm. (1)试判断OD与AC的关系； (2)求OD的长； (3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径． 解：(1)OD⊥AC. 理由：因为AB为⊙O的直径， 所以∠ACB＝90°. 因为OD∥BC. 所以∠ADO＝∠ACB＝90°， 所以OD⊥AC. (2)因为△AOD∽△ABC， 所以＝＝.所以OD＝BC＝2 cm. (3)因为2sin A－1＝0，所以sin A＝. 因为sin A＝，所以AB＝2BC＝8 cm. 10．如图所示，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. 证明：如图所示， 连接OD， 因为BD＝DC，O为AB的中点， 所以OD∥AC， 所以∠ODB＝∠C， 因为OB＝OD， 所以∠ODB＝∠B. 所以∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点． 所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角． 故∠E＝∠B，所以∠E＝∠C. B级　能力提升 1.如图所示，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC.以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠BAC＝50°，则的度数为(　　) A．25° B．50° C．100° D．120° 解析：如图所示，连接AF，因为AC为⊙O的直径， 所以∠AFC＝90°， 即AF⊥BC. 又因为△ABC为等腰三角形， 所以∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝ ×50°＝25°. 所以的度数为25°×2＝50°. 答案：B 2．已知△ABC内接于⊙O，∠BOC＝120°，则弦CB所对圆周角的度数为________． 解析：根据题意，分两种情况． (1)所对的圆周角，如图①所示，这时∠A＝60°. (2)所对的圆周角，如图②所示，这时∠A＝120°， 　图①　　　　　图② 所以弦CB所对的圆周角的度数为60°或120°. 答案：60°或120° 3．如图所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD. (1)求证：DB平分∠ADC； (2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长． (1)证明：因为AB＝BC，所以＝. 所以∠BDC＝∠ADB. 所以DB平分∠ADC. (2)解：由(1)可知＝，所以∠BAC＝∠ADB. 因为∠ABE＝∠ABD，所以△ABE∽△DBA. 所以＝. 因为BE＝3，ED＝6，所以BD＝9. 所以AB2＝BE·BD＝3×9＝27. 所以AB＝3.