2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第一讲1.3第1课时相似三角形的判定 Word版含解析.doc

第一讲 相似三角形的判定及其有关性质 1.3 相似三角形的判定及性质 第1课时 相似三角形的判定 A级　基础巩固 一、选择题 1.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有(　　) A．△ADE∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解析：在△AED和△CBD中， AE∶BC＝AD∶CD＝1∶2， ∠EAD＝∠BCD，所以△AED∽△CBD. 答案：B 2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：因为等腰三角形底边上的高分这个三角形为两个全等的三角形，全等三角形一定相似，所以这个三角形可以是等腰三角形；又因为直角三角形斜边上的高分这个三角形为两个相似三角形，所以这个三角形也可以是直角三角形． 答案：D 3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　　) 解析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A、B、C、D选项中各三角形的三边的长，然后根据三组对边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案． 答案：A 4.如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且＝.下列结论正确的是(　　) A．△ABM∽△ACB　 B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 解析：CM＝CN，即∠AMC＝∠MNC， 即∠AMB＝∠ANC. 又＝，即△AMB∽△ANC. 答案：B 5.如图所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△ADE与△AFG的相似比是(　　) A．3∶4 B．4∶3 C．8∶9 D．9∶8 解析：因为△ABC与△AFG的相似比是3∶2，所以AB∶AF＝3∶2， 又因为△ABC与△AED的相似比是2∶1， 即AB∶AE＝2∶1. 所以△AED与△AFG的相似比 k＝＝·＝×＝. 答案：A 二、填空题 6.如图所示，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB的中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________． 解析：因为E为AB的中点， 所以＝，即AE＝AB. 在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB， 又因为Rt△AED∽Rt△ACB， 所以相似比为＝. 故△ADE与△ABC的相似比为1∶. 答案：1∶ 7．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，若DC·AC＝19，则AD＝________． 解析：因为∠A＝36°，AB＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝72°. 又因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠CBD＝36°. 所以∠BDC＝72°＝∠C， 所以AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD， 所以＝. 所以BC2＝AB·CD. 所以AD2＝AC·CD. 所以AD2＝19，所以AD＝. 答案： 8．△ABC的三边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，与其相似的 △A′B′C′的最大边长是15 cm，那么S△A′B′C′＝________． 解析：由题意知：△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶3，又因为△ABC的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以△A′B′C′的三边长分别为9 cm，12 cm，15 cm.又因为92＋122＝152，所以△A′B′C′为直角三角形，所以S△A′B′C′＝×9×12＝54(cm2)． 答案：54 cm2 三、解答题 9.如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于E，求证：△ECB∽△EAC. 证明：连接EC，因为EF是CD的中垂线， 所以EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD. 又因为∠EDC＝∠A＋∠ACD， 且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB， 又因为CD为∠ACB的平分线， 则∠ACD＝∠DCB， 所以∠A＝∠ECB.又∠CEA为公共角， 所以△ECB∽△EAC. 10.如图所示，在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：＝. 证明：过点C作CM∥AB， 交DP于点M. 因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED. 又AD∥CM，∠ADE＝∠CME， ∠AED＝∠CEM， 所以∠CEM＝∠CME，所以CE＝CM. 因为CM∥BD，所以△CPM∽△BPD， 所以＝，即＝. B级　能力提升 1．若△ABC与△DEF相似，∠A＝60°，∠B＝40°，∠D＝80°，则∠E的度数可以是(　　) A．60° B．40° C．80° D．40°或60° 解析：根据判定定理，可知∠E的度数可以是40°或60°. 答案：D 2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________． 解析：因为AD∥BC， 所以∠ADB＝∠DBC. 又因为∠A＝∠BDC＝90°， 所以△ABD∽△DCB. 所以＝.所以BD2＝AD·BC. 答案：△DCB　AD·BC 3．如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形． (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时， △ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数． 解：(1)因为△PCD是等边三角形， 所以∠PCD＝∠PDC＝60°， PD＝PC＝CD. 从而∠ACP＝∠PDB＝120°. 所以，当＝时，△ACP∽△PDB， 即当CD2＝AC·BD时， △ACP∽△PDB. (2)当△ACP∽△PDB时， ∠APC＝∠PBD. 所以∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝60°＋60°＝120°.