2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1章末综合测评1 Word版含解析.doc

章末综合测评(一) (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子： 图1 ①＝；②＝；③＝；④＝. 其中正确式子的个数有(　　) A．4个　　　 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】　由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B. 【答案】　B 2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为(　　) 【导学号：07370024】 图2 A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶5 【解析】　由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵2＝＝， ∴＝， ∴AD∶DB＝1∶2. 【答案】　C 3．如图3所示，将△ABC的高AD三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3等于(　　) 图3 A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．1∶3∶5 D．3∶5∶7 【解析】　如图所示，E，F分别为△ABC高AD的三等分点，过点E作BC的平行线交AB，AC于点M，N，过点F作BC的平行线交AB，AC于点G，H.△AMN∽△ABC，＝，∴S1＝S△ABC. 又△AGH∽△ABC，＝，S△AGH＝S1＋S2， ∴S1＋S2＝S△ABC， ∴S2＝S△ABC，∴S3＝S△ABC， ∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故选C. 【答案】　C 4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于(　　) 图4 A．5∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1 【解析】　过D作DG∥AC，交 BC于G， 则DG＝DB＝3CE， 即CE∶DG＝1∶3. 易知△DFG∽△EFC， ∴DF∶FE＝DG∶CE， 所以DF∶FE＝3∶1. 【答案】　C 5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论： 图5 ①△AOB∽△COD； ②△AOD∽△ACB； ③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB； ④S△AOD＝S△BOC. 其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3　　　 D．4 【解析】　∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确． ∵S△ADC＝S△BCD， ∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD， ∴S△AOD＝S△BOC，④正确． 故①③④正确． 【答案】　C 6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(　　) 图6 A．11.25 m B．6.6 m C．8 m D．10.5 m 【解析】　本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m. 【答案】　C 7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为(　　) 图7 A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 【解析】　∵∠BAD＝90°，AE⊥BD， ∴△ABE∽△DBA. ∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2. ∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5， ∴AB2∶DB2＝1∶5， ∴AB∶DB＝1∶. 设AB＝k，DB＝k，则AD＝2k. ∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40， ∴k＝2， ∴BD＝k＝10，AD＝4， S△ABD＝BD·AE＝20，即×10·AE＝20， ∴AE＝4 cm. 【答案】　A 8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 △ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是(　　) 【导学号：07370025】 图8 A.－1 B. C．1 D. 【解析】　由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶. 又∵AB＝，∴A′B＝1， ∴AA′＝－1. 【答案】　A 9．如图9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD＝(　　) 图9 A.　　　　　 B. C. D. 【解析】　设CD＝，则AD＝3，BD＝1，∴＝. 【答案】　A 10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】　如图，连接AC，CB. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. 设AD＝x，∵CD⊥AB于D， 由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0， 解得x1＝4，x2＝9. ∵AD>BD，∴AD＝9. 【答案】　B 11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金(　　) 图10 A．500元 B．1 500元 C．1 800元 D．2 000元 【解析】　在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC， AD＝10 m，BC＝20 m， ＝2＝， ∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200 m2， 则还需要资金200×10＝2 000(元)． 【答案】　D 12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为(　　) 图11 A．1∶ B．1∶ C.∶1 D.∶1 【解析】　∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD. ∵BF＝AD，∴AB2＝AD2，∴AD∶AB＝∶1. 【答案】　C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13．如图12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________. 图12 【解析】　∵DE∥BC， ∴＝， 同理＝， ∴＝＝＝. 【答案】　4∶3 14．如图13，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米. 【导学号：07370026】 图13 【解析】　如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB. ∴△GCD∽△ABD，∴＝. 设BC＝x，则＝，同理，得＝. ∴＝，∴x＝3，∴＝， ∴AB＝6(米)． 【答案】　6 15．如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，且AD，BE交于点G，那么＝________. 图14 【解析】　∵AD，BE是△ABC的中线，且AD交BE于G， ∴G是△ABC的重心，∴＝， ∴＝， 又∵D为BC的中点，∴＝，∴＝. 【答案】　 16．如图15，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则DE＝________. 图15 【解析】　法一：因为AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，则CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos ∠ECD＝2＋()2－2×××＝，故DE＝. 法二：如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝，BC＝3，所以tan ∠BAC＝＝，则∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝，AN＝ME＝AEsin ＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝. 【答案】　 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE. 图16 (1)求证：BE·AD＝CD·AE； (2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想． 【解】　(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAC. ∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD，∴＝， 即BE·AD＝CD·AE. (2)猜想：＝. 证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴＝， 又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD， ∴＝. 18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长． 图17 【解】　∵PQ⊥PC， ∴∠APQ＋∠BPC＝90°， ∴∠APQ＝∠BCP， ∴Rt△APQ∽Rt△BCP. ∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3， ∴PB＝3，AP＝1，∴＝， 即AQ＝＝＝， ∴PQ＝＝ ＝. 19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数． 【解】　(1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD. ∴∠BCA＝∠BAD＝65°； (2)当AD在△ABC外部时，如图(2)， 由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD， ∴∠B＝∠CAD＝25°， ∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°. 故∠BCA等于65°或115°. 20．(本小题满分12分)如图18所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证： 图18 (1)△ABC∽△EDC； (2)DF＝EF. 【证明】　(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5. ∵D为斜边AB的中点， ∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5， ∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC. (2)由(1)知，∠B＝∠CDF， ∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF， ∴∠CDF＝∠DCF. ∴DF＝CF.① 由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°， ∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD. ∴∠ECF＝∠CEF， ∴CF＝EF.② 由①②，知DF＝EF. 21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB. (1)若点P在梯形内部，如图19(1)． 求证：BP2＝PE·PF. (2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (1)　　　　　　(2) 图19 【解】　(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC， ∠PBC＝∠PCB. 因为梯形ABCD是等腰梯形， 所以∠ABC＝∠DCB， 即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP， 所以∠ABP＝∠DCP. 又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP， 而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC. 所以＝，即PC2＝PE·PF， 又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF. (2)结论成立．证明如下： 连接PC， 由对称性知PB＝PC， 所以∠PBC＝∠PCB. 因为梯形ABCD是等腰梯形， 所以∠ABC＝∠DCB， 所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB， 即∠ABP＝∠DCP. 因为CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PCF＝180°， 所以∠PEC＝∠PCF.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF. 所以＝，即PC2＝PE·PF， 所以BP2＝PE·PF. 22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上的一点，＝(m，n>0)．取CF的中点D，连接AD并延长交BC于E. 图20 (1)求的值； (2)如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论； (3)E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论． 【导学号：07370027】 【解】　(1)如图所示，作CG∥AB交AE的延长线于G. 在△GCD与△AFD中， ∠G＝∠FAD，∠CDG＝∠FDA，DC＝DF， ∴△GCD≌△AFD，∴GC＝AF. 在△ABE和△GCE中， ∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE∽△GCE.∵＝(m，n>0)， ∴＝＝＝＋1＝＋1. (2)∵BE＝2EC，∴＝2. 由(1)知＝＋1，∴＝1. ∴BF＝AF，F为AB的中点． ∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直线垂直平分边AB. (3)不能．∵＝＋1，而>0，∴>1， ∴BE>EC. ∴E不能为BC的中点．