2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5模块综合测评 Word版含解析.doc

模块综合测评 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式|3x－2|>4的解集是(　　) A．{x|x>2} B. C. D. 【解析】　因为|3x－2|>4，所以3x－2>4或3x－2<－4，所以x>2或x<－. 【答案】　C 2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是(　　) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 【解析】　根据柯西不等式的结构特征可知只有B正确，故选B. 【答案】　B 3．若实数x，y满足|tan x|＋|tan y|>|tan x＋tan y|，且y∈，则|tan x－tan y|等于(　　) A．tan x－tan y B．tan y－tan x C．tan x＋tan y D.|tan y|－|tan x| 【解析】　由|tan x|＋|tan y|>|tan x＋tan y|，得tan x和tan y异号，且y∈，得tan y>0. 故|tan x－tan y|＝tan y－tan x. 【答案】　B 4．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　) 【导学号：32750076】 A．a2<b2 B．ab2<a2b C.< D.< 【解析】　对于C中，－＝<0， ∴<. 【答案】　C 5．用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是(　　) A．假设n＝k时命题成立 B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立 C．假设n＝k(k≥5)时命题成立 D．假设n＝k(k>5)时命题成立 【答案】　C 6．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．2 B．4 C. D.16 【解析】　由(x＋y)≥(1＋1)2＝4. 因此不等式(x＋y)·≥a对任意正实数x，y恒成立，即a≤4. 【答案】　B 7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选(　　) A．1楼 B．2楼 C．3楼 D.4楼 【解析】　设第n层总的不满意程度为f(n)，则f(n)＝n＋≥2＝2×3＝6，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，故选C. 【答案】　C 8．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，对k的取值范围是(　　) A．k<3 B．k<－3 C．k≤3 D.k≤－3 【解析】　∵|x＋1|－|x－2|≥－|(x＋1)－(x－2)|＝－3，∴|x＋1|－|x－2|的最小值为－3. ∴不等式恒成立，应有k<－3. 【答案】　B 9．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1时等号左边应增添的式子是(　　) A．2k＋1 B. C. D. 【解析】　当n＝k时，有f(k)＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)， 当n＝k＋1时，有f(k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)， ∴f(k＋1)＝f(k)·. 【答案】　B 10．对一切正数m，不等式n<＋2m2恒成立，则常数n的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，6) C．(0，＋∞) D.[6，＋∞) 【解析】　要使不等式恒成立，只要n小于＋2m2的最小值．∵＋2m2＝＋＋2m2≥3＝6，∴n<6. 【答案】　B 11．若n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱含有对角面的个数为(　　) A．2f(n) B．f(n)＋(n－1) C．f(n)＋n D.f(n)＋2 【解析】　由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k－1)个，故选B. 【答案】　B 12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤2，|x2|≤2时，|f(x1)－f(x2)|≤6|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是(　　) A．g(x)M B．g(x)∈M C．g(x)∉M D.不能确定 【解析】　∵g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)， ∴|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|， 所以g(x)∈M.故选B. 【答案】　B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________. 【导学号：32750077】 【解析】　∵|x－5|＋|x＋3| ＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8， ∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|<a无解，只需a≤8. 【答案】　(－∞，8] 14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋8，则ab的最小值为________． 【解析】　∵ab＝a＋b＋8，且a＞0，b＞0， ∴ab－8＝a＋b≥2， ∴()2－2－8≥0， ∴≥4或≤－2(舍去)， ∴ab≥16，即ab的最小值为16. 【答案】　16 15．用数学归纳法证明≥ (a，b是非负实数，n∈N＋)，假设n＝k时不等式≥k(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________． 【解析】　要想办法出现，两边同乘以，右边也出现了要求证的k＋1. 【答案】　 16．设a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝·，则P，Q的大小关系为________． 【解析】　由柯西不等式　P＝ ＋ ≤·＝Q， ∴P≤Q. 【答案】　P≤Q 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：＋≥. 【证明】　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0， 所以(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]＋＝＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立． 故＋≥成立． 18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1的解集． 图1 【解】　(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图象如图所示． (2)由f(x)的函数表达式及图象可知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}， f(x)＜－1的解集为. 所以|f(x)|＞1的解集为. 19．(本小题满分12分)设m，n∈R＋，m＋n＝p，求证：＋≥，并指出等号成立的条件． 【证明】　根据柯西不等式，得(m＋n) ≥＝4， 于是＋≥＝， 当m＝n＝时，等号成立． 20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12. 请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)． 【解】　设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a，b，c. 由题意，可得abc＝500， 长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab. 由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥ 3＝3＝3×102＝300. 当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ac＋ab＝300为最小， 这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省． 如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)． (1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)　　 可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行． 21．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值； (2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想． 【解】　(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)， 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)>0(n∈N＋)， ∴f(1)＝2， 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n. 证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立； ②假设n＝k时，f(k)＝2k成立． f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②得，对一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立． 22．(本小题满分12分)设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an＝，n＝2,3,4，…. 【导学号：32750078】 (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝an，求证：bn<bn＋1，其中n为正整数． 【解】　(1)由an＝，得2an＝3－an－1， 即＝－， 所以数列{1－an}是以1－a1(a1∈(0,1))为首项，以－为公比的等比数列， 所以1－an＝(1－a1)n－1， 因此an＝1－(1－a1). (2)证明：由(1)可知0<an<，故bn>0. 那么b－b＝a(3－2an＋1)－a(3－2an) ＝－a(3－2an) ＝(an－1)2.又由(1)知an>0且an≠1， 故b－b>0，因此bn<bn＋1，n为正整数．