2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1学业分层测评5 直角三角形的射影定理 Word版含解析.doc

学业分层测评(五) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是(　　) A．3∶2　　　　 B．9∶4 C.∶ D.∶ 【解析】　如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， 又∵AD＝3，BD＝2， ∴AB＝AD＋BD＝5， ∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10. ∴＝＝，即AC∶BC＝∶， 故选C. 【答案】　C 2.如图1­4­9所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　) 图1­4­9 A．6 B．3 C．18 D．3 【解析】　由题意知 ∴AD2＝18， ∴AD＝3. 【答案】　B 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　) 【导学号：07370021】 A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2 【解析】　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)， ∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)． 【答案】　B 4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】　如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC， ∴＝＝2， 即＝， ∴＝. 【答案】　C 5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　) 【导学号：07370022】 A. 　　　 B.　　　 C.　　　 D．2 【解析】　如图，由射影定理得CD2＝AD·BD. 又∵BD∶AD＝1∶4， 令BD＝x，则AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x， 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝. 【答案】　C 二、填空题 6．如图1­4­10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________． 图1­4­10 【解析】　∵OF＝a， ∴AD＝2a. ∵AE⊥BD， ∴AD2＝DE·BD. ∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD， ∴AD2＝BD·BD， ∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a. 【答案】　4a 7．如图1­4­11，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm. 图1­4­11 【解析】　连接CD，则CD⊥A B. 由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm. 由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD. 所以BD＝ cm. 【答案】　 8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________． 【解析】　如图，过C点作CE⊥AB于E. 在Rt△ACB中， ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm， ∴BC＝8 cm， ∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm， ∴CE＝＝4.8(cm)， ∴AD＝4.8 cm. 又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB， ∴DC＝AE＝3.6 cm. ∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)． 【答案】　32.64 cm2 三、解答题 9．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分. (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 【解】　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB， 由题意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F， ∴AC2＝AF·AB， ∴AF＝＝＝(cm)． 同理BF＝＝＝(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm. 10．如图1­4­12所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE. 图1­4­12 【证明】　∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE. [能力提升] 1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为 (　　) A．1∶2　　　　 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【解析】　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和. 【答案】　C 2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，则DE＝(　　) A．1.24 cm B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm 【解析】　如图，∵∠A＝∠A， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC， ∴＝， DE＝＝＝1.28. 【答案】　C 3．如图1­4­13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________. 图1­4­13 【解析】　由射影定理得， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴＝，即BC2＝. 又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝. ∴BC2＝＝＝64. ∴BC＝8. 【答案】　8 4．如图1­4­14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH. 图1­4­14 【证明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH， ∴△BCE∽△BHG， ∴∠BEC＝∠BGH＝90°， ∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC，在Rt△BCD中， 由射影定理得，GD2＝BG·CG.　① ∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H， ∴△FCG∽△BHG， ∴＝， ∴BG·CG＝GH·FG.　② 由①②得，GD2＝GH·FG.