2016-2017学年人教A版高中数学必修2检测：第2章 点、直线、平面之间的位置关系 课后提升作业 8 2.1.2 Word版含解析.doc

课后提升作业 八 空间中直线与直线之间的位置关系.Com] (30分钟　60分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.( 2016·杭州高二检测)正方体AC1中，E，F分别是边BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是　(　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 【解析】选A.如图所示，连接CD1，则CD1与C1D的交点为点F，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1内，E，F分别是边BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交. 2.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是　(　　) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 【解题指南】由于l2∥l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断. 【解析】选D.因为l2∥l3，所以l1⊥l2，l3⊥l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，但不是一定成立，故l1与l4的位置关系不确定. 3.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是　 (　　) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【解析】选B.如图，易证四边形EFGH为平行四边形. 又因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC， 又FG∥BD， 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°， 所以∠EFG=90°， 故四边形EFGH为矩形. 4.(2016·青岛高一检测)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是　(　　) A.l与AD平行 B.l与AD不平行 C.l与AC平行 D.l与BD垂直 【解析】选A.假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行. 5.(2016·济宁高一检测) 如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是　(　　) A.①③ B.②④ C.①④ D.①② 【解析】选A.AB与平面BCD交于B点，且B∉CD，故AB与CD互为异面直线，故①正确；当H点落在C或F落在D点上时，FH与CD相交；当H落在B或F点落在D上时，FH与DB相交，故②错误；FH与平面EGD交于F点，而F∉EG，故EG与FH互为异面直线，故③正确；当G落在B上或E落在A上时，EG与AB相交，故④错误. 6. 如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 【解析】选C.取AC的中点G，连接EG，FG，则EG􀱀BC，FG􀱀DA.所以△EGF的三边是EF=，EG=1，FG=1，所以EF2=EG2+FG2，所以△EGF为直角三角形， ∠EGF=90°，即为AD与BC所成的角. 7.如图，正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是　(　　) A.相交直线 B.平行直线 C.不互相垂直的异面直线 D.互相垂直的异面直线 【解析】选C.若A′D′与B′B共面，则A′B′也在此平面内，因A′B′与 B′B相交，其确定的平面为ABB′A′， 故A′D′⊂平面ABB′A′与ABCD-A′B′C′D′为四棱台矛盾，故A′D′与 B′B异面.又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，因 B′C′∥A′D′. 即BB′与A′D′不垂直. 8.(2016·成都高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是　(　　) A.0<θ<　　　　　　 B.0<θ≤ C.0≤θ≤ D.0<θ≤ 【解析】选D.如图，连接CD′，则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ=，当P点无限接近D′点时，θ趋近于0，由于是异面直线，故θ≠0. 【补偿训练】在三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′⊥面ABC，若∠BAC=90°，AB=AC= AA′，则异面直线BA′与C′A所成的角等于　(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解题指南】可将该直三棱柱补成一个正方体，通过连线，将异面直线所成的角转化为同一平面内相交直线所成的角. 【解析】选C.由原来的三棱柱补成一个正方体ABDC-A′B′D′C′， 因为AC′∥BD′，所以∠A′BD′即为异面直线BA′与C′A所成的角，因为 △A′BD′为正三角形， 所以∠A′BD′=60°. 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的命题是________(只填序号). 【解析】由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确. 答案：① 10.(2016·广州高一检测)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________. 【解析】如图，取AC的中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG=C1C，EG∥BC，EG=BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角)，在Rt△EFG中，cos∠EFG===. 答案： 三、解答题 11.(10分)已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点， (1)求证：直线EF与BD是异面直线. (2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角. 【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线. (2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中，由EG=FG=AC，求得∠FEG= 45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. 【补偿训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB= 90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形. (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD， 可得GHAD.又BCAD， 所以GHBC，所以四边形BCHG为平行四边形. (2)由BEAF，G为FA的中点知，BEFG， 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG.由(1)知BGCH， 所以EF∥CH， 所以EF与CH共面. 又D∈FH， 所以C，D，F，E四点共面.