2016-2017学年高中数学人教A版必修3阶段质量检测（3） Word版含解析.doc

阶段质量检测（三） （A卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　) A．对立事件　　　　　 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件 解析：选B　根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件． 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　) A.　　　　　　　　 B．　　　 C.　　　 D． 解析：选C　从A，B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种情况，所以所求概率P＝＝. 3．在区间[－3,3]上任取一个实数，所得实数是不等式x2＋x－2≤0的解的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选C　由x2＋x－2≤0，得－2≤x≤1， 所求概率为＝. 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中随机取点，则点落在四棱锥O­ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：选B　设正方体的体积为V，则四棱锥O­ABCD的体积为，所求概率为＝. 5．从的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：选C　符合要求的是∅，，，，，，，共8个，而集合共有子集25＝32个，∴P＝. 6．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　) A. B． C. D． 解析：选D　由已知可知点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝. 7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2＋y2＝17内部的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：选B　点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x2＋y2＝17内部只有，，，，，，，，共8种，故概率为. 8．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：选C　甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙，乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为. 9．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个卡片，从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选D　从中无放回地取2次，所取号码共有56种，其中和不小于14的有4种，分别是(6,8)，(8,6)，(7,8)，(8,7)，故所求概率为＝. 10．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选C　根据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则(x，y)的情况有6×6＝36(种)，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3个，因此满足条件的概率为＝. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是________． 解析：已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走的是男同学的概率是P＝＝. 答案： 12．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________． 解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°， P＝＝. 答案： 13．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________． 解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧长为2，点B落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为. 答案： 14．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别记为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0没有实数根的概率为________． 解析：本试验的基本事件共有36个，方程x2＋bx＋c＝0没有实数根的充要条件是b2＜4c，满足此条件的(b，c)共有17种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，故所求事件的概率P＝. 答案： 三、解答题(本大题共4题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分12分)爸爸和亮亮用4张扑克牌(方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回． (1)若爸爸恰好抽到了黑桃4. ①请把下面这种情况的树状图绘制完整； ②求亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率． (2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平． 解：(1)①树状图： ②由①可知亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率是. (2)不公平，理由如下： 爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大有5种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字，所以爸爸胜的概率只有，显然对爸爸来说是不公平的． 只需把黑桃5改成黑桃6即可使这个游戏公平(答案不唯一)． 16．(本小题满分12分)已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标x∈A，y∈A，且x≠y，计算： (1)点(x，y)不在x轴上的概率； (2)点(x，y)正好在第二象限的概率． 解：点(x，y)中，x∈A，y∈A，且x≠y，基本事件有：(－9，－7)，(－9，－5)，(－9，－3)，(－9，－1)，(－9,0)，(－9,2)，(－9,4)，(－9,6)，(－9,8)，(－7，－9)，(－7，－5)，(－7，－3)，(－7，－1)，(－7，0)，(－7,2)，(－7,4)，(－7,6)，(－7,8)，…，(8，－9)，(8，－7)，…，(8,6)共有90个，且每一种结果出现的可能性相等． (1)设事件A为“点(x，y)不在x轴上”，不符合要求的有(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1，0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)共9个，所以符合要求的有90－9＝81个，即事件A包含的基本事件个数为81.因此，事件A的概率是P(A)＝＝0.9. (2)设事件B为“点(x，y)正好在第二象限”，则x＜0，y＞0，则符合要求的基本事件为：(－9,2)，(－9,4)，(－9,6)，(－9,8)，(－7,2)，(－7,4)，(－7,6)，(－7,8)，…，(－1,2)，(－1,4)，(－1,6)，(－1,8)共20个，即事件B包含的基本事件个数为20.因此，事件B的概率是P(B)＝＝. 17．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标． (1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率； (2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在多边形M区域内的概率． 解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为. (2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为. 18．(本小题满分14分)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1，1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机抽取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数的概率； (2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数的概率． 解：(1)分别从集合P和Q中随机抽取一个数作a和b.共有6×6＝36(种)情形．由于函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，当且仅当a＞0且≤1，即a＞0且2b≤a. 若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；若a＝3，则b＝－2，－1,1；若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；若a＝5，则b＝－2，－1,1,2. 故事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16，因此所求概率为＝. (2)由(1)可知当a＞0且2b≤a时，y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 由条件可知试验的全部结果所构成的区域为，画出构成事件的区域为一三角形区域，其面积为×8×8＝32. 又由得交点坐标为，故满足要求的基本事件的区域的面积为×8×＝.故所求的概率为P＝＝. （B卷 能力素养提升） (时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列事件是随机事件的是(　　) ①同种电荷，互相排斥； ②明天是晴天； ③自由下落的物体作匀速直线运动； ④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 解析：选C　②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件． 2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则(　　) A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3 C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1 解析：选B　先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3. 3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是(　　) A．A与C互斥 B．任何两个均互斥 C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥 解析：选A　三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥． 4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是(　　) ①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A　①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误． 5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：选C　两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P＝. 6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是(　　) A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68 解析：选B　记“取到质量小于4.8 g”为事件A，“取到质量不小于4.85 g”为事件B，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38. 7．(福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　) A. B． C. D． 解析：选C　点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝. 8．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选D　设3个元素分别为a，b，c.所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个． 9．(安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选D　事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－＝. 10．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选D　方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0,1)，所以<a<1，区间(，1)的长度为1－，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为＝. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．(江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝. 答案： 12．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm) 162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm～170.5 cm之间的概率为________．(用分数表示) 解析：样本中有8人身高在155.5 cm～170.5 cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为＝. 答案： 13．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________． 解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种， ∴P＝＝. 答案： 14．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点M，则点M与A的距离不小于1且使∠CMD为锐角的概率是________． 解析：如图所示，M在阴影部分内，则 P＝ ＝1－. 答案：1－ 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在圆O：x2＋y2＝1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率． 解：如图所示： 记事件过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为A. 设EF＝1则在Rt△OQE中， OE2＝OQ2＋QE2， 1＝OQ2＋， ∴OQ＝. 由几何概型的概率公式得P(A)＝＝. 而过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－. 16．(本小题满分12分)A、B两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示. (1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2 的概率； (2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率． 解：(1)记事件A＝{从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}． 基本事件总个数为6×5＝30，事件A包含基本事件的个数为5. 由古典概型的概率公式得P(A)＝＝. 则x＝2的概率为. (2)记事件B＝{从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}． 事件B包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝＝. 则x＝0且y＝2的概率为. 17．(本小题满分12分)国家安全机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发现在30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？ 解：包含两名间谍谈话录音的部分在30～40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0～30 s之间时，全部被擦掉．即在0～40 s之间的时间段内任一时刻按错键时，含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉，而在0～30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的．所以按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段的长度有关，符合几何概型的条件．设事件A表示“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”，事件A发生就是在 0～ min的时间段内按错键．所以μA＝ min，μΩ＝30 min，P(A)＝＝＝. 18．(本小题满分14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b. (1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率； (2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． (1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切， ∴＝1，整理得：a2＋b2＝25. 由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}， ∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况． ∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝. (2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件； 当a＝2时，b＝5，共1个基本事件； 当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件； 当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件； 当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件； ∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个． ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.