2016-2017学年高中人教A版数学必修4（45分钟课时作业与单元测试卷）：第31课时 简单的三角恒等变换 Word版含解析.doc

第31课时　简单的三角恒等变换 　　　　　　课时目标 　1.能够利用半角公式进行化简． 2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系． 3．了解y＝asinx＋bcosx的函数的变换，并会求形如y＝asinx＋bcosx的函数的性质． 　　识记强化 1．半角公式： sin2＝，sin＝± cos2＝，cos＝± tan2＝，tan＝± 根号前符号，由所在象限三角函数符号确定． 2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝. 　　课时作业 一、选择题 1．已知cosθ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cosθ＝－，所以cos＝＝＝，故选B. 2．已知α∈，cosα＝，则tan＝(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 答案：D 解析：因为α∈，且cosα＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D. 3．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是(　　) A．[－1,1] B. C. D. 答案：B 解析：在△ABC中，B＝45°，所以cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以≤cosAsinC≤，故选B. 4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于(　　) A．7 B．－7 C. D．－ 答案：C 解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝， ∴cosα＝－. 又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－. ∴tan＝＝＝. 5．函数f(x)＝的值域为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：f(x)＝＝＝2sinx＋2sin2x， 又－1≤sinx<1，∴f(x)∈.故选B. 6．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 答案：B 解析：sinAsinB＝ 2sinAsinB＝1－cos(π－A－B) cosAcosB＋sinAsinB＝1 cos(A－B)＝1 A＝B ∴是等腰三角形． 二、填空题 7．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________． 答案：－ 解析：3sinx－cosx＝2 sin， 所以φ＝－. 8．已知sin＝，则cos2＝________. 答案： 解析：因为cos＝sin＝sin＝.所以cos2＝＝＝. 9．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________. 答案： 解析：因为3cos2＋5sin2＝4， 所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0， 所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0， 即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝. 三、解答题 10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos. 解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝， ∴cosα＝－，cosβ＝. cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝. 又∵<α<π，0<β<，∴0<α－β<π，0<<. ∴cos＝ ＝. 11．已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα. 证明：由条件得sin[(α＋β)＋α] ＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得 sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα. 整理得： 4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα. 两边同除以cos(α＋β)cosα得： 2tan(α＋β)＝3tanα. 　　能力提升 12．要使sinα＋cosα＝有意义，则应有(　　) A．m≤ B．m≥－1 C．m≤－1或m≥ D．－1≤m≤ 答案：D 解析：sinα＋cosα＝2＝ 2sin＝，所以sin＝，由于－1≤sin≤1，所以－1≤≤1，所以－1≤m≤. 13．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若<α<，且f(α)＝－，求sin2α的值． 解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x， 所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin， 所以函数f(x)的最小正周期是π. (2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－. 因为<α<，所以<2α＋<， 所以cos＝－， 所以sin2α＝sin ＝sin－cos ＝×－× ＝.