2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质.doc

第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题； （3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； 3．情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. （二）教学重点、难点 两个性质定理的证明. （三）教学方法 学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化. 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？ 问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题 复习巩固以旧带新 探索新知 一、直线与平面垂直的性质定理 1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？ 已知 求证：b∥a. 证明：假定b不平行于a，设=0 b′是经过O与直线a平行的直线 ∵a∥b′， ∴b′⊥a 即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的， 因此b∥a. 2．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 简化为：线面垂直线线平行 生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立. 师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法” 师生边分析边板书. 借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率. 探索新知 二、平面与平面平行的性质定理 1．问题 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 2．例1 设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB 证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线，所以AB⊥ 3．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 简记为：面面垂直线面垂直. 教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题 生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A ∵ ∴A′A⊥面ABCD 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可. 师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？ 生：在面内过B作BE⊥CD即可. 师：为什么呢？ 学生分析，教师板书 本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题. 典例分析 例2 如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系. 解：在内作垂直于与交线的直线b， 因为，所以 因为，所以a∥b. 又因为，所以a∥. 即直线a与平面平行. 例3 设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？ 证明：如图，设= c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有. 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此. 师投影例2并读题 生：平行 师：证明线面平行一般策略是什么？ 生：转证线线平行 师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？ 生：垂直 师：已知，怎样作直线b？ 生：在内作b垂直于、的交线即可. 学生写出证明过程，教师投影. 师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注. 师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用. 巩固所学知识，训练化归能力. 巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性. 随堂练习 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”. （1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ） b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ） c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ） （2）已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是 . 答案：b∥或b. 2．（1）下列命题中错误的是（ A ） A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面. B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面. C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面. D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么. （2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ） ①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．设直线a，b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？ 答案：不相交，不异面 4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系. 答案：平行、相交或在平面内 学生独立完成 巩固、所学知识 归纳总结 1．直线和平面垂直的性质 2．平面和平面垂直的性质 3．面面垂直线面垂直线线垂直 学生归纳总结，教材再补充完善. 回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力. 课后作业 2.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 备选例题 例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？ 【解析】 【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ． 例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩= l，求证：l⊥r． 【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可． 【证明】法一：如图，设∩r = a ，∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b． ∵⊥r，⊥r， ∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）． 又∩= l， ∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，nr ∴l⊥r． 法二：如图，设∩r = a，∩r = b，在内作m⊥a，在内作n⊥b． ∵⊥r，⊥r， ∴m⊥r，n⊥r． ∴m∥n，又n，m， ∴m∥，又∩= l，m， ∴m∥l， 又m⊥r，∴l⊥r． 【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的． 6